Question

4．如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，运动一周后通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开乙轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，求：
（1）小球通过C点和D的速度大小．
（2）水平CD段的长度．

Answer 1

分析 （1）小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零，都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率．当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解小球经过C点时的速率，同理可求D点速度；
（2）根据动能定理求解CD的长度

解答 解：（1）设小球通过C点时的速度为v_C，通过甲轨道最高点的速度为v₁，
根据小球对轨道压力为零有
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$…①
取轨道最低点所在水平面为参考平面，
由机械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$…②
联立①②式，可得${v}_{C}=\sqrt{5gR}$
同理可得小球通过D点时的速度${v}_{D}=\sqrt{5gr}$
（2）设CD段的长度为l，对小球通过CD
段的过程，由动能定理有
$-μmgl=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：
$l=\frac{5（R-r）}{2μ}$
答：（1）小球通过C点和D的速度大小分别为$\sqrt{5gR}$和$\sqrt{5gr}$．
（2）水平CD段的长度为$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

点评 本题是向心力、机械能守恒定律、动能定理的综合应用．在竖直平面内，小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似，难度适中．