Question

19．利用弹簧弹射和传送带传动装置可以将工件运送至高处．如图所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ=0.25．传送带传动装置顺时针匀速转动的速度v=4m/s，两轮轴心相距L=5m，B、C 分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．现将质量m=1kg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A 点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到传送带上的B 点时速度v₀=8m/s，AB 间的距离s=1m．工件可视为质点，g 取10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）工件沿传送带上滑的时间；
（3）若传送装置顺时针匀速转动的速度v 可在v＞4m/s的范围内调节，试推导工件滑动到C 点时的速度v_C 随速度v 变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v₀=8m/s，AB间的距离s=lm，通过能量守恒定律求出弹簧的最大弹性势能．
（2）因为μ＜tan37°，当工件速度减为传送带速度时，又以不同的加速度向上减速，根据牛顿第二定律求出两次匀减速直线运动的加速度，然后根据运动学公式求出上滑的总时间．
（3）当传送带速度在4m/s＜v＜8m/s的范围内调节时，工件先以加速度a₁减速向上滑行，再以加速度a₂减速向上滑行，根据运动学公式求出工件滑动到C点时的速度v_c随速度v变化的关系式．
当传送带的速度v≥8m/s的范围内调节时，工件将沿传送带以加速度a₂减速滑行到C点，根据运动学公式求出工件滑动到C点时的速度v_c随速度v变化的关系式．

解答 解：（1）根据能量守恒定律得：
弹簧的最大弹性势能为 E_p=mgssin37°+$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 E_P=38J．
（2）工件沿传送轨道减速向上滑动的过程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
解得 a₁=8m/s²．
从B点运动到与传送带共速需要的时间 t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{8-4}{8}$s=0.5s．
工件滑行的位移大小 s₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{8+4}{2}×0.5$m=3m＜L．
因为μ＜tan37°，所以工件将沿传送带继续减速上滑．
   mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
解得 a₂=4m/s²．
假设工件速度减为零时，工件未从传送带上滑落，则 t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{4}$s=1s．
工件滑行的位移大小 s₂=$\frac{v}{2}{t}_{2}$=$\frac{4}{2}×1$=2m=L-s₁；
故假设成立，工件沿传送带上滑的时间 t=t₁+t₂=1.5s．
（3）当传送带速度在4m/s＜v＜8m/s的范围内调节时，工件先以加速度a₁减速向上滑行的位移为
   s₁′=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$．
当速度减到v后又以加速度a₂减速向上滑行 L-s₁′=$\frac{{v}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2{a}_{2}}$
解得，工件滑动C点的速度v_C随速度v的变化关系式 v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$
当传送带的速度v≥8m/s的范围内调节时，工件将沿传送带以加速度a₂减速滑行到C点
   v_c²-v₀²=2a₂L
工件滑动到C点的速度v_c随速度v变化的关系式 v_c=2$\sqrt{6}$m/s．
答：
（1）弹簧的最大弹性势能为38J．
（2）工件沿传送带上滑的时间为1.5s．
（3）当传送带速度在4m/s＜v＜8m/s时，工件滑动C点的速度v_C随速度v的变化关系式为v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$，当传送带的速度v≥8m/s时，工件滑动到C点的速度v_c随速度v变化的关系式为v_c=2$\sqrt{6}$m/s．

点评 解决本题的关键理清工件的运动情况，注意分析工件与传送带速度相同时的运动状态，通过牛顿第二定律和运动学公式进行研究．