Question

（2013?梅州一模）一质量为m₁=1kg、带电量为q=0.5c的小球/V静止在光滑水平平台上，另一质 量为m₂=1kg、不带电的小球M自平台左端以速度v=4.5m/s向右运动，两小球发生完全 弹性碰撞后，小球N自平台右端水平飞出，碰撞过程小球N的电荷量不变，不计空气阻力，小球N飞离平台后由λ点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，圆轨道ABC的形状为半径R＜4m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，在过A点的竖直线00'的右边空间存 在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E=10V/m，（sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取 10m/s²）求：
（1）两球碰撞后小球N的速度大小v_N
（2）小球N经过A点的速度大v_A
（3）欲使小球N在圆轨道运动时不脱离圆轨道，求 半径R的取值应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）两小球发生完全弹性碰撞，动量和机械能均守恒，由两大守恒定律列式，求两球碰撞后小球N的速度大小v_N．
（2）小球离开平台后做平抛运动，由题知，小球经过A点时的速度沿圆轨道的切线方向，根据速度分解求出经过A点时的速度大小v_A．
（3）欲使小球N在圆轨道运动时不脱离圆轨道，有两种情况：一种恰好能通过最高点C，由重力和电场力的合力提供向心力，另一种恰好滑到与圆心等高的点速度为零，根据牛顿第二定律和动能定理结合进行求解．

解答：解：（1）由题意，两小球发生完全弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒，得
   m₂v=m₁v_N+m₂v_M
  

1

2

m2v2=

1

2

m1

v

2 N

+

1

2

m2

v

2 M

联立解得：v_N=4.5m/s
（2）小球离开平台后做平抛运动，由题知，小球经过A点时的速度沿圆轨道的切线方向，则
  cos53°=

vN

vA

解得v_A=7.5m/s
（3）（i）小球N沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC后，小球沿轨道做圆周运动，若恰好能通过最高点C，由重力和电场力的合力提供向心力，设滑至最高点的速度为v_C，则有
   m₁g+qE=m1

v 2 C

R

根据动能定理得：
-（m₁g+qE）R（1+cos53°）=

1

2

m1

v

2 C

-

1

2

m1

v

2 A

联立以上两式解得  R=

25

28

m
故当0＜R≤

25

28

m时，小球N沿着轨道做圆周运动的，且能从圆的最高点C飞出．
（ii）若小球N恰好滑到与圆心等高的圆弧上的T点时速度为零，则滑块也沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．根据动能定理得
-（m₁g+qE）Rcos53°=0-

1

2

m1

v

2 A

解得，R=

25

8

m
根据题中信息可知R＜4m．故当

25

8

m≤R＜4m时，小球在轨道内来回的滚动．
综上所术，小球能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半径R的取值应满足0＜R≤

25

28

m或

25

8

m≤R＜4m． 
答：
（1）两球碰撞后小球N的速度大小v_N是4.5m/s．
（2）小球N经过A点的速度大v_A是7.5m/s
（3）欲使小球N在圆轨道运动时不脱离圆轨道，半径R的取值应满足0＜R≤

25

28

m或

25

8

m≤R＜4m．

点评：本题是复杂的力学综合题，整合了动量守恒、机械能守恒、动能定理、向心力等等多个力学规律，特别是第3题小球能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，有两种可能的情况，不要漏解．