Question

10．如图所示，一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量m=1kg可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度．在平台的右端有一传送带，AB长L=5m，物块与传送带间的动摩擦因数μ₁=0.2，与传送带相邻的粗糙水平面BC长s=1.5m，它与物块间的动摩擦因数μ₂=0.3，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直圆弧与BC平滑连接，圆弧对应的圆心角为θ=120°，在圆弧的最高点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来．若传送带以v=5m/s的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失．当弹簧储存的E_p=18J能量全部释放时，小物块恰能滑到与圆心等高的E点，取g=10m/s²．
（1）求右侧圆弧的轨道半径为R；
（2）求小物块最终停下时与C点的距离；
（3）若传送带的速度大小可调，欲使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离轨道，求传送带速度的可调节范围．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒定律求出物块被弹簧弹出时的速度大小，物块滑上传送带后先做匀减速直线运动，当速度达到传送带速度后一起做匀速直线运动，结合运动学公式得出物块离开传送带后的速度，结合动能定理求出圆弧轨道的半径．
（2）根据动能定理求出物块返回到B点的速度，物块再次滑上传送带后，先做匀减速速度减为零，然后反向加速，结合动能定理求出小物块停下时距离C点的距离．
（3）若物块恰好到达F点，结合牛顿第二定律求出F点的速度，对BF段运用动能定理，求出物块离开传送带的速度，得出传送带的最小速度；若物块撞挡板后再次上滑到E点，结合动能定理求出传送带的速度，与物块在传送带一直加速时传送带的最大速度进行比较，得出传送带的最大速度，从而得出传送带速度可调节的范围．

解答 解：（1）物块被弹簧弹出，由${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$可知：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}}=\sqrt{\frac{2×18}{1}}m/s=6m/s$，
因为v₀＞v，故物块滑上传送带后做减速物块与传送带相对滑动过程中，
由：μ₁mg=ma₁，v=v₀-a₁t₁，${x}_{1}={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$，代入数据得到：
${a}_{1}=2m/{s}^{2}$，t₁=0.5s，x₁=2.75m，
因为x₁＜L，故物块与传送带同速后相对静止，最后物块以5m/s的速度滑上水平面BC，物块滑离传送带后恰到E点，由动能定理可知：$\frac{1}{2}m{v}^{2}={μ}_{2}mgs+mgR$，
代入数据整理可以得到：R=0.8m．
（2）设物块从E点返回至B点的速度为v_B，由$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}={μ}_{2}mg×2s$，
代入数据得到${v}_{B}=\sqrt{7}m/s$，因为v_B＞0，故物块会再次滑上传送带，物块在恒定摩擦力的作用下先减速至0再反向加速，由运动的对称性可知其以相同的速率离开传送带，设最终停在距C点x处，由$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}={μ}_{2}mg（s-x）$，
代入数据得到：x=$\frac{1}{3}m$．
（3）设传送带速度为v₁时物块能恰到F点，在F点满足$mgsin30°=m\frac{{{v}_{F}}^{2}}{R}$，
从B到F过程中由动能定理可知：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}$=μ₂mgs+mg（R+Rsin30°），
代入数据解得：${v}_{1}=\sqrt{37}$m/s，
设传送带速度为v₂时，物块撞挡板后返回能再次上滑恰到E点，
有：$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}={μ}_{2}mg×3s+mgR$
代入数据解得：${v}_{2}=\sqrt{43}m/s$．
若物块在传送带上一直加速运动，由$\frac{1}{2}m{{v}_{Bm}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}={μ}_{1}mgL$知其到B点的最大速度${v}_{Bm}=\sqrt{56}m/s$，
综合上述分析可知，只要传送带速度$\sqrt{37}m/s≤v≤\sqrt{43}m/s$就满足条件．
答：（1）右侧圆弧的轨道半径为R为0.8m；
（2）小物块最终停下时与C点的距离为$\frac{1}{3}m$；
（3）传送带速度的可调节范围为$\sqrt{37}m/s≤v≤\sqrt{43}m/s$．

点评 本题综合考查了动能定理、能量守恒、牛顿第二定律和运动学公式的运用，关键理清物块在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解，对于第三问，关键抓住两个临界状态，选取研究的过程，运用动能定理进行求解．