Question

6．已知地球半径R=6.4×10⁶m，地面附近的重力加速度g=9.8m/s²，第一宇宙速度v₁=7.9×10³m/s，若发射一颗地球同步卫星，使它在赤道上空运转，其距地高度h=3.56×10⁷m，请用不同方法估算地球的质量．（提示：所谓同步，就是卫星相对于地面静止即卫星运转周期等于地球自转周期）

Answer 1

分析 地球表面的物体万有引力充当物体的重力；人造地球卫星均是万有引力充当向心力；绕地球表面运行的卫星，其运动速度为第一宇宙速度；地球同步卫星的周期与地球的自转周期相同．

解答 解：（1）地球同步卫星的周期等于地球的自转周期，故有：
G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
解得地球质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4×3.1{4}^{2}×（6.4+3.56×1{0}^{7}）}{6.67×1{0}^{-11}×（24×3600）^{2}}$=6.0×10²⁴kg
（2）对地面的物体由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg可得：
M=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{G}}$=$\sqrt{\frac{10×（6.4×1{0}^{6}）^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}}$=6.0×10²⁴kg；
（3）第一宇宙速度为绕地球表面运动的卫星的速度；则有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：M=$\frac{R{v}^{2}}{G}$=$\frac{6.4×1{0}^{6}×（7.9×1{0}^{3}）^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}$=6.0×10²⁴kg；
答：地球的质量为6.0×10²⁴kg

点评 本题考查天体质量的计算，要牢记天体中总是万有引力充当向心力，要明确向心力公式的正确选择．