Question

图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L。不计重力及粒子间的相互作用。
(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径。
(2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。

Answer 1

（1）R＝　　　Δt＝　　　　　　　

(1)设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有：

　　　　　qvB＝m
得：R＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
(2)如图所示，以OP为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为O₁、O₂和OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知：
∠PO₁Q₁＝∠PO₂Q₂＝θ   　　　　　　　　　　　　②
从O点射入到相遇，粒子1的路程为半圆周加弧长Q₁P
Q₁P＝Rθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ₂
　　　PQ₂＝Rθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④
粒子1运动的时间：t₁＝　　　　　　　　　　　⑤
其中T为圆周运动的周期．粒子2运动的时间为：
t₂＝　　　　　　　　　　　　⑥
两粒子射入的时间间隔：
　　　　　　　　Δt＝t₁－t₂＝2　　　　　　　　　　　⑦
因　　　　　　　Rcos＝　　　　　　　　　　　　
得　　　　　　　　θ＝2arccos                     ⑧
由①、⑦、⑧三式得：
　　　　　　　　　Δt＝　　　　　　　⑨
评分标准：本题15分。第(1)问3分。第(2)问12分。⑤、⑥式各4分，⑧、⑨式各