Question

14．现有一根长L=1m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m=0.5kg的小球（可视为质点），将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，取g=10m/s²，则：
（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？
（2）在小球以速度v₁=4m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？
（3）在小球以速度v₂=1m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，由重力作为向心力可以求得最小的速度；
（2）根据第一问的判断可以知道v₁＞V₀，故绳中有张力，由向心力的公式可以求得绳的拉力的大小；
（3）由于v₂＜V₀，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得运动的时间．

解答 解：（1）要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，
所以 由 mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$得
V₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）因为v₁＞V₀，故绳中有张力，
由牛顿第二定律得，
T+mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
代入数据解得，绳中的张力为T=3N，
（3）因为v₂＜V₀，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，如图所示
水平方向：x=v₂t
竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²
    L²=（y-L）²+x²
解得：t=$\frac{2}{g}\sqrt{gL{{-v}_{2}}^{2}}$=0.6s．
答：（1）在A点至少应施加给小球$\sqrt{10}$m/s 的水平速度；
（2）若小球以速度v₁=4m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为3N；
（3）若小球以速度v₂=1m/s水平抛出的瞬间，绳中无张力，绳子再次伸直时所经历的时间是0.6s．

点评 要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，这是本题中的一个临界条件，与此时的物体的速度相对比，可以判断物体能否做圆周运动，进而再根据不同的运动的规律来分析解决问题，本题能够很好地考查学生的分析解决问题的能力，是道好题．