Question

2．如图所示，光滑半球的半径为R，球心为O，固定在水平面上，其上方有一个光滑曲面轨道AB，高度为$\frac{R}{2}$．轨道底端水平并与半球顶端相切．质量为m的小球由A点静止滑下．小球在水平面上的落点为C（重力加速度为g），则（　　）

• A． 将沿半球表面做一段圆周运动后抛至C点
• B． 小球将从B点开始做平抛运动到达C点
• C． OC之间的距离为$\sqrt{2}$ R
• D． 小球从A运动到C的时间等于（1+$\sqrt{2}$ ）$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 从A到B的过程中，根据机械能守恒可以求得到达B点时的速度，根据圆周运动的向心力公式可以判断离开B点后的运动情况；分析两过程的运动情况，从而明确运动时间的计算．

解答 解：A、从A到B的过程中，根据机械能守恒可，mg$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}$mV²，解得V=$\sqrt{gR}$，
在B点，当重力恰好作为向心力时，由mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得V_B=$\sqrt{gR}$，
所以当小球到达B点时，重力恰好作为向心力，所以小球将从B点开始做平抛运动到达C，所以A错误，B正确．
C、根据平抛运动的规律，
水平方向上：x=V_Bt    
竖直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²      
解得x=$\sqrt{2}$R，t=$\frac{\sqrt{2R}}{g}$； 所以C正确，
D、由A到C过程时物体先做变速曲线运动，再做平抛运动，平抛运动的时间t=$\frac{\sqrt{2R}}{g}$； 根据给出的答案可知，求出的曲线运动时间t₁=（1+$\sqrt{2}$ ）$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{\sqrt{2R}}{g}$=$\frac{\sqrt{R}}{g}$，很明显是利用了$\frac{R}{2}$除以$\frac{{v}_{B}}{2}$，而实际情况是物体沿圆弧运动，经过的路程不是$\frac{R}{2}$，同时平均速度也不是$\frac{{v}_{B}}{2}$，所以求出的结果一定是错误的，故D错误．
故选：BC．

点评 本题的关键地方是判断小球在离开B点后的运动情况，根据小球在B点时速度的大小，小球的重力恰好作为圆周运动的向心力，所以离开B后将做平抛运动．再分别根据相应的规律求解即可．