Question

如图所示是一种简化磁约束示意图，可以将高能粒子约束起来．有一个环形匀强磁场区域的截面内半径R₁，外半径R₂，被约束的粒子带正电，比荷

q

m

=4.0×10⁷C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用．（请在答卷中简要作出粒子运动轨迹图）
（1）若内半径R₁=1m，外半径R₂=3m，要使从中间区域沿任何方向，速率v=4×
10⁷m/s的粒子射入磁场时都不能越出磁场的外边界，则磁场的磁感应强度B至少为多大？
（2）若内半径R₁=

3

m，外半径R₂=3m，磁感应强度B=0.5T，带电粒子从中间区域沿半径方向射入磁场，则粒子不能穿越磁场外边界的最大速率v_m是多少？
（3）若带电粒子以（2）问中最大速率v_m从圆心O出发沿圆环半径方向射入磁场，请在图中画出其运动轨迹，并求出粒子从出发到第二次回到出发点所用的时间（结果可用分数表示或保留二位有效数字）．

Answer 1

（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁感应强度越，粒子轨道半径越大，
求出最大轨道半径，然后求出对应的最小磁感应强度，粒子轨道半径最大时，运动轨迹如图所示：
由图示可知，r²+R₁²=（R₂-r）²，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

r

，
解得：B=0.75T，则磁感应强度至少为0.75T；
（2）粒子沿半径方向射出恰好不射出磁场时的运动轨迹如图所示：
根据图示，由数学知识可知：r²+R₁²=（R₂-r）²，
将R₁=

3

m，R₂=3m代入解得：r=1m，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

r

，
已知：B=0.5T，
解得：v=2×10⁷m/s，
则粒子的最大速率为2×10⁷m/s．
（3）带电粒子必须三次经过磁场，才能回到出发点，轨迹如图所示：
根据图示由数学知识可知，tanθ=

R1

r

=

3

，则θ=60°
则粒子在磁场中运动一次转过的圆心角φ=360-2×60=240°，
粒子在磁场中的运动时间：
t₁=3

φ

360°

T=3×

240°

360°

×

2πm

qB

=2π×10^-7s≈6.28×10^-7s，
粒子在磁场外的运动时间：
t₂=3

2R1

v

=3×

2× 3

2×107

≈5.20×10^-7s，
粒子从出发到第二次回到出发点所用的时间t=t₁+t₂≈1.1×10^-6s，
答：（1）磁场的磁感应强度B至少为0.75T；
（2）粒子不能穿越磁场外边界的最大速率v_m是2×10⁷m/s；
（3）粒子从出发到第二次回到出发点所用的时间为1.1×10^-6s．