题目内容

如图甲所示，两平行金属板间距为2l，极板长度为4l，两极板间加上如图乙所示的交变电压（t=0时上极板带正电）．以极板间的中心线OO1为x轴建立坐标系，现在平行板左侧入口正中部有宽度为l的电子束以平行于x轴的初速度v0从t=0时不停地射入两板间．已知电子都能从右侧两板间射出，射出方向都与x轴平行，且有电子射出的区域宽度为2l．电子质量为m，电荷量为e，忽略电子之间的相互作用力．
（1）求交变电压的周期T和电压U0的大小；
（2）在电场区域外加垂直纸面的有界匀强磁场，可使所有电子经过有界匀强磁场均能会聚于（6l，0）点，求所加磁场磁感应强度B的最大值和最小值；
（3）求从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移．
（1）电子在电场中水平方向做匀速直线运动，
则：4l=v0nT，解得：T=
4l
nv0
（n=1，2，3…），
电子在电场中运动最大侧向位移：
l
2
=2n?
1
2
a(
T
2
)2，由牛顿第二定律得：a=
eU0
2lm
，
解得：U0=
nm
v20
4e
（n=1，2，3…）；
（2）粒子运动轨迹如图所示：

由图示可知，最大区域圆半径满足：rm2=(2l)2+(rm-l)2，解得：rm=2.5l，
对于带电粒子当轨迹半径等于磁场区域半径时，带电粒子将汇聚于一点，
由牛顿第二定律得：qv0Bmin=
m
v20
rm
，解得：Bmin=
2mv0
5el
，
最小区域圆半径为rn=0.5l，
由牛顿第二定律得：qv0Bmax=
m
v20
rn
，解得：Bmax=
2mv0
el
；
（3）设时间为τ，
T
2
＞τ＞0，若t=kT+τ且(
T
2
＞τ＞0)时电子进入电场，
则：
y1=n[
1
2
a(
T
2
-τ)2?2-
1
2
aτ2?2]=n[
1
4
aT2-aTτ]=
(4k+1)l
2
-
nv0t
2
，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…），
若t=(k+
1
2
)T+τ且(
T
2
＞τ＞0)进入电场
则：y2=-n[
1
4
aT2-aTτ]=
nv0
2
(t-kT-
1
2
T)-
l
2
=
nv0t
2
-
(4k+3)
2
l，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
或：若电子在t=kT+τ且(T＞τ＞
T
2
)进入电场时，出电场的总侧移为：
y2=n[-
1
2
a(T-τ)2?2+
1
2
a(τ-
T
2
)2]
=n[-
3
4
aT2+aTτ]=-
(4k+3)
2
l+
nv0t
2
，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
其他解法：若kT＜t＜kT+
T
2
，则
电子沿+y方向第一次加速的时间为
T
2
-(t-kT)
电子沿-y方向第一次加速的时间为t-kTy={
1
2
a[
T
2
-(t-kT)]2-
1
2
a(t-kT)2}?2n
解得：y=
4k+1
4
naT2-naTt，其中aT2=
2l
n
，aT=
1
2
v0，
∴y=
4k+1
2
l-
1
2
nv0t（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）
若kT+
T
2
＜t＜kT+T，则
电子沿-y方向第一次加速的时间为T-（t-kT）
电子沿+y方向第一次加速的时间为t-kT-
T
2
y={-
1
2
a[T-(t-kT)]2+
1
2
a(t-kT-
T
2
)2}?2n
解得：y=
4k+1
4
naT2-naTt，其中aT2=
2l
n
，aT=
1
2
v0，∴y=
1
2
nv0t-
4k+3
2
l（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
答：（1）交变电压的周期T=
4l
nv0
（n=1，2，3…），电压U0=
nm
v20
4e
（n=1，2，3…）；
（2）所加磁场磁感应强度B的最大值Bmax=
2mv0
el
；最小值Bmin=
2mv0
5el
；
（3）从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移为
(4k+1)l
2
-
nv0t
2
其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…），或
nv0t
2
-
(4k+3)
2
l，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）．
练习册系列答案
相关题目
如图，为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹，室中匀强磁场的方向与轨迹所在的平面垂直﹙图中垂直于纸面向里﹚由此可知粒子（　　）
A．一定带负电
B．一定是从下而上穿过铅板
C．可能是从上而下穿过铅板
D．可能带正电，也可能带负电
如图，A、B、C三板平行，B板延长线与圆切于P点，C板与圆切于Q点．离子源产生的初速为零、带电量为q、质量为m的正离子被电压为U0的加速电场加速后沿两板间中点垂直射入匀强偏转电场，偏转后恰从B板边缘离开电场，经过一段匀速直线运动，进入半径为r的圆形匀强磁场，偏转后垂直C板打在Q点．（忽略粒子所受重力）
（
q
m
=2×104c/kg，U0=100V，偏转电场极板长l=6cm、板间距d=2
3
cm，r=4cm）
求：（1）偏转电压U；
（2）粒子进入磁场时速度的大小及速度与B板的夹角；
（3）磁感应强度B的大小．
如图所示，质量为m，电量为q的带电粒子，由静止经电压为U加速后，经过A点，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场后落到图中D点，（忽略重力和空气阻力）
求：（1）带电粒子在A点垂直射入磁场区域时速度V；
（2）A、D两点间的距离L．
（3）已知磁场的宽度为d，要使粒子能从磁场的右边界飞出，加速电压U应该满足什么条件？
如图所示是一种简化磁约束示意图，可以将高能粒子约束起来．有一个环形匀强磁场区域的截面内半径R1，外半径R2，被约束的粒子带正电，比荷
q
m
=4.0×107C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用．（请在答卷中简要作出粒子运动轨迹图）
（1）若内半径R1=1m，外半径R2=3m，要使从中间区域沿任何方向，速率v=4×
107m/s的粒子射入磁场时都不能越出磁场的外边界，则磁场的磁感应强度B至少为多大？
（2）若内半径R1=
3
m，外半径R2=3m，磁感应强度B=0.5T，带电粒子从中间区域沿半径方向射入磁场，则粒子不能穿越磁场外边界的最大速率vm是多少？
（3）若带电粒子以（2）问中最大速率vm从圆心O出发沿圆环半径方向射入磁场，请在图中画出其运动轨迹，并求出粒子从出发到第二次回到出发点所用的时间（结果可用分数表示或保留二位有效数字）．
图中为一“速度选择器”装置示意图．a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间．为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子能够沿水平直线OO′运动由O′射出，电子重力不计，可能达到上述目的办法是（　　）
A．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里
B．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里
C．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外
D．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外
回旋加速器是加速带电粒子的装置．其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，要增大带电粒子射出时的动能，则下列说法中正确的是（　　）
A．减小磁场的磁感应强度
B．增大匀强电场间的加速电压
C．增大D形金属盒的半径
D．减小狭缝间的距离
质谱仪是用来测定带电粒子质量和分析同位素的重要装置，在科学研究中具有重要应用．如图所示的是质谱仪工作原理简图，电容器两极板相距为d，两板间电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B1，方向垂直纸面向外．一束电荷量相同但质量不同的粒子沿电容器的中线平行于极板射入电容器，沿直线穿过电容器后进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场，方向垂直纸面向外．结果分别打在感光片上的a、b两点，设a、b两点之间距离为x，粒子所带电荷量为q，且不计重力．则以下判断正确的是（　　）
A．该束带电粒子的电性均相同，且均带正电
B．该束带电粒子的电性均相同，且均带负电
C．该束带电粒子的速度均相同，且均为
U
B1d
D．打在a、b两点的粒子的质量之差△m=
B1B2qdx
2U
质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具.它的构造原理如图所示，离子源S产生电荷量为q的某种正离子，离子产生时的速度很小，可以看作是静止的，离子经过电压U加速后形成离子流，然后垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动而到达记录它的照相底片P上。实验测得，它在P上的位置到入口处S1的距离为a，离子流的电流为I。

(1)在时间t内到达照相底片P上的离子的数目为多少？
(2)这种离子的质量为多少？

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