Question

11．2012年，我国宣布北斗星导航系统正式进入商业运行．北斗卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星组成．该系统具有导航、定位等功能．如图为“北斗”系统中某一工作卫星，它绕地心做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻位于轨道上的A位置，若卫星顺时针运行，经过一段时间运动到B位置，且与地球连线的夹角为60°，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）地球的质量；
（2）此卫星在轨道上的加速度大小和线速度大小；
（3）此卫星由位置A运动至位置B需要的时间．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力与万有引力相等，据此求得地球的质量；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力由轨道半径求卫星的加速度和线速度；
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力求得卫星运动周期，再根据几何关系求得时间．

解答 解：（1）在地球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）万有引力提供卫星圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$
可得卫星的向心加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$
又据$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得卫星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$
（3）由万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得卫星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$
根据卫星圆周运动的周期性可知，卫星从位置A运动到位置B所需时间：
t=$\frac{T}{6}+nT$=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）此卫星在轨道上的加速度大小为$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$和线速度大小为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$；
（3）此卫星由位置A运动至位置B需要的时间为$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$（n=0，1，2，3…）．

点评 在地球表面重力与万有引力相等，万有引力提供卫星圆周运动向心力这是解决此类问题的关键入手点．