Question

13．如图所示，固定的水平轨道MN与位于竖直平面内的光滑半圆轨道相接，M、N两点间的距离为L，圆轨道半径为R（R的大小可以变化），PN恰好为该圆的一条竖直直径．可视为质点的质量为m的物块B在N点获得不同的水平向右的初速度，调节R的大小，使物体能够到达最高点P，且物体都能够落到M点，重力加速度为g．（已知a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立）
（1）求R和L的关系满足什么条件时，物体落到M点的速度有最小值；
（2）在满足（1）的条件下，求在最高点P，轨道对物体B的压力的大小．

Answer 1

分析 （1）先根据平抛运动的规律得出物体经过P点时的速度表达式，再由机械能守恒定律求得物体落到M点的速度，最后由数学知识求解．
（2）物体在P点时，由重力和轨道对物体压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求解轨道对物体B的压力．

解答 解：（1）设物体经过P点时速度为v₀，落到M点时的速度为v．由平抛运动的规律有 
水平方向上有：L=v₀t，
竖直方向上有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立可得：v₀=L$\sqrt{\frac{g}{4R}}$
从P到M，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立得：v=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{4R}+4gR}$
根据数学知识可知，当$\frac{g{L}^{2}}{4R}$=4gR，即L=4R时，v有最小值．
（2）在满足（1）的条件下，得：v₀=L$\sqrt{\frac{g}{4R}}$=4R$\sqrt{\frac{g}{4R}}$=2$\sqrt{gR}$
物体在P点时，由牛顿第二定律得：
N+mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：N=3mg
答：（1）当L=4R时，物体落到M点的速度有最小值；
（2）在满足（1）的条件下，在最高点P，轨道对物体B的压力的大小是3mg．

点评 本题综合考查了平抛运动、机械能守恒定律、向心力公式的应用，关键要认真分析物体的运动过程，把握平抛运动的规律，根据物理规律得出v的表达式，这是常用的函数法．