Question

如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，一长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）若小球恰能通过圆轨道最高点，求小球通过最低点时对绳子拉力的大小．
（2）若小球恰能在竖直平面内做圆周运动，求台秤示数的最小值．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通过最高点，根据牛顿第二定律求出最高点的速度，通过动能定理求出小球通过最低点的速度，再根据牛顿第二定律求出绳子的拉力．
（2）根据径向的合力提供向心力，通过牛顿第二定律和动能定理，结合数学知识求出对小球向下的最大拉力，则对人有向上的最大拉力，根据共点力平衡求出人对台秤的最小压力．

解答：解：（1）恰好圆周时，在最高点：mg=

mv12

R

从最低点到最高点，由动能定理：-2mgR=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

在最低点：T-mg=m

v 2 2

R

联立以上各式解得：T=6mg
由牛顿第三定律：T′=6mg
（2）设小球经过图示位置Q点的速度为v，与竖直方向夹角为θ，则从P到Q：mgR(1-cosθ)=

1

2

m

v

2

-

1

2

m

v

2 1

在Q点：T+mgcosθ=m

v2

R

得：T=3mg（1-cosθ）
其竖直方向的分量为：T_y=3mg（1-cosθ）cosθ
由数学关系可知，当cosθ=0.5，即：θ=60⁰时，T_y最小  
则台秤示数的最小值为：Nmin=Mg-Ty=(M-

3

4

m)g．
答：（1）小球通过最低点时对绳子拉力的大小为6mg．
（2）台秤示数的最小值为Nmin=(M-

3

4

m)g．

点评：本题考查了牛顿第二定律、动能定理的综合，关键知道圆周运动向心力的来源，选择合适的研究过程，运用动能定理、牛顿第二定律进行求解．