Question

12．如图所示，相互平行、间距为d的两个界面S₁、S₂把空间分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，在区域Ⅰ和Ⅱ内有垂直纸面向里的匀强磁场B₁和B₂，区域Ⅲ内匀强电场E的方向由S₁指向S₂，一个质量为m、电量为-q的带电粒子，以平行于电场线的初速度v₀从与S₁相距$\frac{d}{4}$的O点开始向S₁运动，若带电粒子在运动过程中除电场力、磁场力外不受其它力，为使粒子能够沿图中的轨迹一直运动下去（轨道的两个半圆的半径相等）．求：
（1）磁感应强度B₁和B₂之比；
（2）电场强度E应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）明确粒子的运动过程，对电场中运动根据动能定理求解速度，对磁场中的运动根据洛伦兹力充当向心力列式，联立即可求得磁感应强度的比值；
（2）明确题意，知道粒子能沿给出轨迹一直运动的条件是能减速以一定的速度进入B₂；根据动能定理列式即可求解E的大小．

解答 解：（1）粒子以初速度v₀向S₁运动，在电场中做匀加速运动，由动能定理可得：Eq$\frac{d}{4}$=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在匀强电场B₁中，粒子以速度v₁做匀速圆周运动，根据洛伦兹力充当向心力可得：qv₁B₁=m$\frac{v_{1}^{2}}{R}$
粒子以速度v₁进入匀强电场，做匀减速直线运动，由动能定理和：-Eq$\frac{3d}{4}$=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在匀强磁场B2中，做匀速圆周运动，则有：qv₂B₂=m$\frac{v_{2}^{2}}{R}$
联立以上各式解得：$\frac{B_{1}}{B_{2}}$=$\frac{\sqrt{v_{0}^{2}+\frac{Eqd}{2m}}}{\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{3Eqd}{2m}}$=$\frac{\sqrt{2mv_{0}^{2}+Eqd}}{\sqrt{2mv_{0}^{2}-3Eqd}}$；
（2）只要粒子能经过电场减速进入B₂，则粒子能够沿图中的轨迹一直运动下去，则由动能定理可得：-Eq$\frac{3d}{4}$=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²
且v₂＞0
联立解得：E＜$\frac{2mv_{0}^{2}}{3qd}$
答：（1）磁感应强度B₁和B₂之比为$\frac{\sqrt{2mv_{0}^{2}+Eqd}}{\sqrt{2mv_{0}^{2}-3Eqd}}$；
（2）电场强度E应满足的条件为E＜$\frac{2mv_{0}^{2}}{3qd}$

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动规律，要注意明确带电粒子在电场中一般用动力学规律或动能定理分析求解；而在磁场中一般利用洛伦兹力充当向心力规律分析求解，要掌握对应的方法．