Question

如图甲所示，在x＞0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B；一质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O处，以初速度v₀沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力．

（1）求该粒子运动到y=h时的速度大小v．
（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但是，沿x轴方向具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向的运动具有相同的时间周期性，即都有相同的周期T=

2πm

qB

其y-t图象如图丙所示．试求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s．
（3）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但是，对任一个轨迹来说，粒子在y=0处和在y方向的最大位移y_m处所受的合外力总是大小相等、方向相反．试求当入射粒子的初速度大小为2v₀时，该粒子在y方向的最大位移y_m．

Answer 1

分析：（1）粒子在运动的过程中只有电场力做功，根据动能定理求出粒子运动到y=h时的速度大小v．
（2）通过图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向做匀速直线运动的粒子在T时间内前进的距离s．根据qv₁B=qE求出粒子沿x轴方向匀速运动的速度，从而得出一个周期内沿x轴方向运动的位移．
（3）粒子在y=0处和在y方向的最大位移y_m处所受的合外力大小相等、方向相反，有q?2v₀?B-qE=-（qv₂B-qE），结合动能定理求出在y方向的最大位移y_m

解答：解：（1）由于洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理得：
-qEh=

1

2

mv2-

1

2

mv02…（1）
解得：v=

v02- 2qEh m

…（2）
（2）由图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向做匀速直线运动的粒子在T时间内前进的距离s．设粒子恰好沿x轴方向做匀速直线运动的速度大小为v₁，则：
qv₁B=qE…（3）
又：s=v₁T…（4）
T=

2πm

qB

…（5）
联立（3）（4）（5）式解得：s=

2πmE

qB2

…
（3）设粒子在y方向的最大位移为y_m，粒子运动的速度大小为v₂（方向沿x轴），根据该粒子在y=0处和在y方向的最大位移y_m处所受的合外力大小相等、方向相反，可得：
q?2v₀?B-qE=-（qv₂B-qE）…（6）
由动能定理得：
-qEym=

1

2

mv22-

1

2

m(2v0)2…（7）
联立（6）（7）两式解得：
ym=

2m

qB

(2v0-

E

B

)．
答：（1）该粒子运动到y=h时的速度大小v=

v02- 2qEh m

．
（2）粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s=

2πmE

qB2

．
（3）粒子在y方向的最大位移ym=

2m

qB

(2v0-

E

B

)．

点评：本题考查了带电粒子在复合场中的运动，过程较复杂，关键理清粒子的运动轨迹，结合动能定理和洛伦兹力和电场力知识进行解决．