Question

如图所示，有A、B两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R的行星做匀速圆周运动，旋转方向相同，其中A为近地轨道卫星，周期为T₁，B为静止轨道卫星，周期为T₂，在某一时刻两卫星相距最近，试用已知量求解下列问题：（引力常量G为已知）
（1）经过多长时间，两行星再次相距最近？
（2）同步卫星离地面的高度h=？
（3）该行星的平均密度ρ=？

Answer 1

（1）卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

周期T=2π

r3 GM

，
某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t两卫星再次相距最近时，A卫星比B卫星多转过2π弧度，
即有：（

2π

T1

-

2π

T2

）t=2π
得t=

T1T2

2(T2-T1)

，
（2）卫星做匀速圆周运动万有引力提供向心力有：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

A为近地轨道卫星，周期为T₁，
所以行星质量M=

4π2R3

GT 21

同步卫星周期为T₂，
r=

3	GMT2 4π2

=

3	T 22 R3 T 21

=R+h
所以同步卫星离地面的高度h=

3	T 22 R3 T 21

-R．
（3）根据密度的定义得：
行星的平均密度ρ=

M

V

=

3π

GT 21

．
答：（1）经过

T1T2

2(T2-T1)

，两行星再次相距最近．
（2）同步卫星离地面的高度h=

3	T 22 R3 T 21

-R．
（3）该行星的平均密度ρ=

3π

GT 21

．