题目内容

如图所示，竖直平面内的 3/4 圆弧形光滑轨道半径为 R，A 端与圆心 O 等高，AD 为水平面，B 点为光滑轨道的最高点且在O 的正上方，一个小球在 A 点正上方某处由静止释放，自由下落至 A 点进入圆轨道并知通过 B 点时受到轨道的弹力为mg（从A点进入圆轨道时无机械能损失），最后落到水平面 C 点处．求：
（1）释放点距 A 点的竖直高度 h和落点 C 到 A 点的水平距离X
（2）如果将小球由h=R处静止释放，请问小球能否通过最高点B点，如果不能通过，请求出脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值．
分析：本题（1）的关键是小球在B点时列出牛顿第二定律方程，再结合动能定理和平抛规律即可求解．
（2）的关键是先假设小球能到最高点，根据牛顿第二定律求出到达最高点的最小速度为
gR
，与动能定理矛盾，说明不能到达最高点，然后设出E与O点连线的夹角，再根据动能定理和脱离轨道时牛顿第二定律即可求解．
解答：解：（1）小球通过最高点B时，由牛顿第二定律，有：
mg+
F
 
N
=
mv
2
B
R
，又
F
 
N
=mg，解得
v
 
B
=
2gR

设释放点到A点高度为h，小球从释放到运动至B点的过程中，
根据动能定理，有：mg（h-R）=
1
2
m
v
2
B

联立①②解得 h=2R，
由平抛规律R=
1
2
gt
2
 
，X=
v
 
B
t，联立解得x=2R，所以C点距A点距离△x=2R-R=R
即释放点距A点的竖直高度h为2R，落点C到A点的水平距离为R．
（2）小球到达B点时最小速度为v，有mg=
mv
2
 
R
，
若能到达最高点应满足mgR=
1
2
mv
2
 
+mgR，显然不可能成立，即不能到最高点．
设到最高点E的速度为
v
 
E
，E与O的连线与竖直方向夹角θ，由动能定理有mgR（1-cosθ）=
1
2
mv
2
E
①，
在E点脱离轨道时有mgcosθ=
mv
2
E
R
②
联立①②解得cosθ=
2
3
，所以sinθ=
1-(cosθ
)
2
 
=
5
3

即小球不能通过最高点E，小球脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值
5
3
．
点评：小球在内侧轨道到达最高点时的最小速度应满足mg=
mv
2
 
R
，脱离轨道时应满足mgcosθ=
mv
2
 
R
，小球运动过程可利用动能定理或机械能守恒定律列式求解，小球平抛运动则利用平抛规律求解．
练习册系列答案
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如图所示，竖直平面内有一段不光滑的斜直轨道与光滑的圆形轨道相切，切点P与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ=60°，圆形轨道的半径为R，一质量为m的小物块从斜轨道上A点由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动，A点相对圆形轨道底部的高度h=7R，物块通过圆形轨道最高点c时，与轨道间的压力大小为3mg．求：
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（2）物块通过轨道最低点B时对轨道的压力大小？
（3）物块与斜直轨道间的动摩擦因数μ=？
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34
倍．不计一切摩擦．现将小球从M点右侧的D点由静止释放，DM间距离x0=3R．
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A、小环从A点运动到B点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
B、小环从A点运动到B点的过程中，小环的电势能一直增大
C、电场强度的大小E=
mg
q
D、小环在A点时受到大环对它的弹力大小F=mg+
1
2
kL
精英家教网如图所示，竖直平面内的光滑绝缘轨道由斜面部分AB和圆弧部分BC平滑连接，且圆弧轨道半径为R，整个轨道处于水平向右的匀强电场中．一个带正电的小球（视为质点）从斜轨道上某一高度处由静止释放，沿轨道滑下（小球经过B点时无动能损失），已知小球的质量为m，电量为q，电场强度E=
mgq
，求：
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（2）小球到达圆轨道最高点C速度最小值时，在斜面上释放小球的位置距离地面有多高？（结论可以用分数表示）

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