Question

7．弹跳最高的矮个子：斯巴德•韦伯身高1.70m．昵称为“土豆”的他，竟在1986年“扣篮大赛”中夺得“扣篮王”称号，成为NBA的传奇．假设韦伯和球质量为m，和球一起以速度v₀离开地面还能竖直上升h（上升过程只受重力作用）．已知地球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）地球的平均密度；
（2）卫星绕地球运转的最大环绕速度．

Answer 1

分析 （1）由竖直上抛运动的规律求出地球表面的重力加速度，根据重力等于万有引力求出地球质量，由密度定义求出地球的平均密度；
（2）根据地球表面近地卫星的环绕速度最大，由$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$可求解最大环绕速度

解答 解：（1）根据竖直上抛运动的规律，有$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$
地球表面物体的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得地球的质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}$
根据$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{v}_{0}^{2}}{8πGRh}$
（2）根据$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得最大环绕速度$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{Rv}_{0}^{2}}{2h}}$
答：（1）地球的平均密度$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8πRGh}$；
（2）卫星绕地球运转的最大环绕速度$\sqrt{\frac{R{v}_{0}^{2}}{2h}}$

点评 该题关键抓住在地球表面万有引力等于重力和密度公式，最大的环绕速度即第一宇宙速度，知道公式中各个物理量的含义，难度不大．