Question

18．根据玻尔理论，电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑引力作用下的匀速圆周运动，已知电子的电荷量为e，质量为m，电子在第1轨道运动的半径为r₁，静电力常量为k．
（1）电子绕氢原子核做圆周运动时，可等效为环形电流，试计算电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期及形成的等效电流的大小；
（2）氢原子在不同的能量状态，对应着电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，电子做圆周运动的轨道半径满足r_n=n²r₁，其中n为量子数，即轨道序号，r_n为电子处于第n轨道时的轨道半径．电子在第n轨道运动时氢原子的能量E_n为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和．理论证明，系统的电势能E_p和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{r}$（以无穷远为电势能零点）．请根据以上条件完成下面的问题．
试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量E_n和电子在第1轨道运动时氢原子的能量E₁满足关系式E_n=E₁/n²．

Answer 1

分析 （1）根据库仑力提供向心力，结合圆周运动周期的公式，再由电流表达式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合动能与电势能表达式，从而确定各轨道的能级，最后由能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）设电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期为T₁，形成的等效电流大小为I₁，
根据牛顿第二定律有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}$
有${T}_{1}=\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{r}_{1}^{3}}{k}}$               
又因为${I}_{1}=\frac{e}{{T}_{1}}$ 
有I₁=$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}^{3}}}$  
（2）①设电子在第1轨道上运动的速度大小为v₁，根据牛顿第二定律有
$k\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
电子在第1轨道运动的动能${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$ 
电子在第1轨道运动时氢原子的能量 E₁=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}}+\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{1}}$ 
同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量  E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$+$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{n}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$
又因为 r_n=n²r₁
则有 E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$=$\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$ 命题得证．
答：（1）电子绕氢原子核做圆周运动时，可等效为环形电流，试计算电子绕氢原子核在第1轨道上做圆周运动的周期及形成的等效电流的大小；
（2）证明如上所述．

点评 考查库仑定律，掌握牛顿第二定律的应用，注意原子核的电量与电子电量相等，同时各轨道的能量是解题的关键，还要掌握能量守恒定律的内容．