Question

如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37^o，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连。小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道。a、b为两完全相同的小球，a球由静止从A点释放，在C处与b球发生弹性碰撞。已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37^o=0.6，cos37^o=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R。求：

⑴a球滑到斜面底端C时速度为多大？a、b球在C处碰后速度各为多少？
⑵要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？若R′=2.5R，两球最后所停位置距D（或E）多远？
注：在运算中，根号中的数值无需算出。

Answer 1

⑴ ； ，   ⑵或；b球将停在D点左侧，距D点0.6R处， a球停在D点左侧，距D点R处。

试题分析：（1）设a球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有
    ①
可得       ②
b球在C发生弹性碰撞，系统动量守恒，机械能守恒，设a、b碰后瞬间速度分别为、，则有　③
　④
由②③④可得   
   ⑤
可知，a、b碰后交换速度，a静止，b向右运动。
（2）要使小球b不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道。则小球b在最高点P应满足     ⑥

小球b碰后直到P点过程，由动能定理，有
   ⑦
由⑤⑥⑦式，可得 
情况二：小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D。则由动能定理有   ⑧
由⑤⑧式，可得    
若，由上面分析可知，b球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道与a球碰撞，且a球到达B点，在B点的速度为,，由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律有      ⑨
由⑤⑨式，可得   
故知，a球不能滑回倾斜轨道AB，a、b两球将在A、Q之间做往返运动，最终a球将停在C处，b球将停在CD轨道上的某处。设b球在CD轨道上运动的总路程为S，由于a、b碰撞无能量损失，则由能量守恒定律，有       ⑩
由⑤⑩两式，可得   S=5.6R
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处， a球停在D点左侧，距D点R处。
点评：弹性碰撞一般要用动量守恒和碰撞前后动能不变列表达式求解，本题中还要注意小球不脱离轨道有两种情况，其中上升到与圆心等高速度减小为零的情况容易忽视。