Question

5．“嫦娥二号”进入环月轨道后，分别在距月球表面最远100km，最近15km高度的轨道上做圆周运动，此高度远小于月球的半径，设“嫦娥二号”绕月与月绕地的转动方向同向．已知地球的质量为月球质量的k倍，月球绕地球运行的轨道半径为月球的半径的n倍，月球绕地球运行的周期为T．若某时刻“嫦娥二号”距地球最远，经△t时间“嫦娥二号”距地球最近，则△t不可能为（　　）

• A． $\frac{T}{2（1-\sqrt{\frac{k}{{n}^{3}}}）}$
• B． $\frac{T}{2（\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}-1）}$
• C． $\frac{T}{2（\sqrt{\frac{k}{{n}^{3}}}-1）}$
• D． $\frac{T}{2（1-\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}）}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列出等式，解出“嫦娥二号”绕月球运动的周期与月球绕地球运动的周期的关系，进一步计算出月球的角速度ω和“嫦娥二号”的角速度ω′．
由于“嫦娥二号”绕月与月绕地的转动方向同向，所以有π=（ω′-ω）•△t，代入数据化简，可得到△t的值．

解答 解：对于月球绕地球运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{{M}_{地}{M}_{月}}{（n{R}_{月}）^{2}}={M}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（n{R}_{月}）$，即${GM}_{地}=\frac{4{π}^{2}{n}^{3}{{R}_{月}}^{3}}{{T}^{2}}$
又因为已知地球的质量为月球质量的k倍，所以${GkM}_{月}=\frac{4{π}^{2}{n}^{3}{{R}_{月}}^{3}}{{T}^{2}}$
对于“嫦娥二号”绕月球运动，$G\frac{{M}_{月}m}{{{R}_{月}}^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}{R}_{月}$，即${GM}_{月}=\frac{4{π}^{2}{{R}_{月}}^{3}}{{T′}^{2}}$
所以T′=$\sqrt{\frac{k}{{n}^{3}}}T$
所以月球的角速度ω=$\frac{2π}{T}$，
“嫦娥二号”的角速度ω′=$\frac{2π}{T′}$
由于“嫦娥二号”绕月与月绕地的转动方向同向，所以有π=（ω′-ω）•△t
即$π=（\frac{2π}{\sqrt{\frac{k}{{n}^{3}}}T}-\frac{2π}{T}）△t$
所以△t$\frac{T}{2（\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}-1）}$，故B正确，ACD错误．
本题选错误的，故选：ACD．

点评 本题首先要注意向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用，其次要注意“嫦娥二号”绕月与月绕地的转动方向同向，所以从“嫦娥二号”距地球最远到距离地球最近转过的角度为π，有π=（ω′-ω）•△t．