Question

【题目】如图所示，一根粗细均匀的长为4L直杆竖直固定放置，其上套有A、B两个可看做质点的小圆环A、B，质量分别为mA=4m，mB=m，杆上P点上方是光滑的且长度为L；P点下方是粗糙的，杆对两环的滑动摩擦力大小均等于环各自的重力．开始环A静止在P处，环B从杆的顶端由静止释放，B 与A发生碰撞的时间极短，碰后B的速度方向向上，速度大小为碰前的 ．求：

（1）B与A发生第一次碰撞过程是否有机械能损失．
（2）通过计算说明B与A能否在杆上发生第二次碰撞．

Answer 1

【答案】
（1）解：设B自由下落L时速度为v0，由机械能守恒定律

得：

设B与A碰撞后瞬间，B的速度大小为vB，A的速度大小为vA，A、B组成的系统动量守恒，规定向下的方向为正．

mBv0=﹣mBvB+mAvA

将

代入上式解得：

损失的机械能： =0，则机械能守恒，

答：B与A发生第一次碰撞过程没有机械能损失．

（2）解：碰撞后A匀速下滑，B做竖直上抛运动，B返回到P点时，速度大小仍然为vB，此后，B也做匀速运动，由于vB＞vA，所以B与A可能会发生第二次碰撞．

设A、B第一次碰撞后经时间t发生第二次碰撞，B做竖直上抛运动返回到P点经历的时间为t1，则：

A的位移：sA=vAt

B匀速运动的位移：sB=vB（t﹣t1）

由sA=sB

解得：

因sA＜3L

所以，A、B能发生第二次碰撞，碰撞的位置在P点下方 ．

答：B与A能在杆上发生第二次碰撞，碰撞的位置在P点下方 ．

【解析】（1）由机械能守恒定律求出B自由下落L时速度，A，B组成的系统动量守恒列出等式求出AB碰撞后的速度大小，从而判断发生第一次碰撞过程是否有机械能损失．（2）碰撞后A匀速下滑，B做竖直上抛运动，B返回到P点时，速度大小仍然为vB，此后，B也做匀速运动，由于vB＞vA，所以B与A可能会发生第二次碰撞，对物体进行运动分析，运用运动学公式求解碰撞的位置．
【考点精析】掌握机械能守恒及其条件是解答本题的根本，需要知道在只有重力（和弹簧弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变．