题目内容

精英家教网如图所示，OP1Q1与OP2Q2是位于同一水平面上的两根金属导轨，处在沿竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，长度相等的导轨OP1段与OP2段相互垂直，交于O点．导轨的P1Q1与P2Q2段相互平行，相距为2b．一根质量为m的金属细杆，在t=0s时从O点出发，在外力作用下以恒定的速度v沿导轨向右滑动．在滑动的过程中，杆始终保持与导轨的平行段相垂直，速度方向与导轨的平行段相平行，杆与导轨有良好的接触．假定导轨与金属杆都有电阻，且每单位长度的电阻都是r．不计金属细杆与轨道之间的摩擦．
（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流多大？
（2）当t=
2b
V
时，金属杆受到的安培力多大？
（3）从开始运动到t=
b
V
过程中，外力一共做了多少的功？
（4）若控制外力，使金属杆从静止开始作匀加速直线运动，加速度始终为a，试写出外力随时间变化的规律．
分析：（1）根据切割求出感应电动势的表达式，通过回路的长度求出回路的电阻，再通过欧姆定律求出感应到电流的大小．
（2）当t=
2b
V
时求出导体棒运行的位移，根据几何关系求出回路的长度，从而求出回路的电阻，结合切割产生的感应电动势和欧姆定律求出感应电流的大小，从而得出安培力的大小．
（3）从开始运动到t=
b
V
过程中，因为导体棒的有效长度均匀增加，电流不变，则安培力均匀增大，求出这段过程中的平均安培力，抓住安培力做的功等于外力做的功求出外力做功的大小．
（4）分两种情况讨论，一种是在位移0-b内，一种是位移大于b后，根据牛顿第二定律和运动学公式，结合切割产生的感应电动势和闭合电路欧姆定律求出外力随时间变化的规律．
解答：解：（1）切割产生的感应电动势E=BLV，回路中的电阻R=（2
2
Vt+2Vt）r，
根据欧姆定律得：
I1=
BLV
R
=
B?2Vt?V
(2
2
Vt+2Vt)r
=
BV
(
2
+1)r

（2）当t=
2b
V
时，导体棒的有效长度为2b，回路中的总电阻为R=(2
2
b+4b)r，
根据欧姆定律得：
I2=
BLV
R
=
B?2b?V
(2
2
b+4b)r
=
BV
(
2
+2)r

则安培力的大小：FA=BI2L=B
BV
(
2
+2)r
?2b=
2B2bV
(
2
+2)r
．
（3）根据动能定理得：WF-WA=0
WF=WA=
0+FAmax
2
?b=
1
2
B
BV
(
2
+1)r
2b?b=
B2Vb2
(
2
+1)r
．
（4）分两段讨论：
①0≤t≤
2b
a

S=
1
2
at2，V=at，I1=
Bat
(
2
+1)r
．
F1-BI1?2S=ma
F1=ma+
B2a2
(
2
+1)r
t3．
②t＞
2b
a

R=
.
2
2
b+2(S-b)+		2b
  
.
r=(2
2
b+at2)r
I2=
B?2b?at
R
=
2abBt
(2
2
b+at2)r

F2=ma+
4ab2B2t
(2
2
b+at2)r
．
答：（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流为
BV
(
2
+1)r
．
（2）当t=
2b
V
时，金属杆受到的安培力为
2B2bV
(
2
+2)r
．
（3）从开始运动到t=
b
V
过程中，外力一共做功为
B2Vb2
(
2
+1)r
．
（4）当0≤t≤
2b
a
，F1=ma+
B2a2
(
2
+1)r
t3．当t＞
2b
a
时，F2=ma+
4ab2B2t
(2
2
b+at2)r
．
点评：本题综合考查了切割产生的感应电动势、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律等知识点，综合性较强，注意需区别导体棒位移0-b内以及位移大于b两种情况．
练习册系列答案
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如图所示，OP1Q1与OP2Q2是位于同一水平面上的两根光滑金属导轨，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B．导轨的OP1段与OP2段相互垂直，长度相等，交于O点．导轨的P1Q1段与P2Q2段相互平行，并相距2b．一金属细杆在垂直于金属杆的水平外力作用下，t=0的时刻从O点出发，以恒定的速度v沿导轨向右滑动．在滑动过程中，杆始终保持与导轨的平行段相垂直，杆与导轨有良好的接触．假定导轨和金属杆都有电阻，每单位长度的电阻都是r．求：
（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，加在   金属杆上外力的功率随时间的变化关系？
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（2013?南昌二模）如图所示，OP1Q1与OP2Q2是位于同一水平面上的两根金属导轨，处在沿竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，长度相等的导轨OP1段与OP2段相互垂直，交于O点．导轨的P1Q1与P2Q2段相互平行，相距为2b．一根质量为m的金属细杆，在t=0s时从O点出发，在外力作用下以恒定的速度v沿导轨向右滑动．在滑动的过程中，杆速度的方向始终保持与导轨的平行段相平行，且与OP1成45°夹角，杆与导轨有良好的接触．假定导轨与金属杆都有电阻，且每单位长度的电阻都是r．不计金属细杆与轨道之间的摩擦．
（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流多大？
（2）从开始运动到t=
bv
过程中，外力一共做了多少的功？
（3）若控制外力，使金属杆从静止开始作匀加速直线运动，加速度大小为a，试写出外力随时间变化的规律．
如图所示，OP1Q1与OP2Q2是位于同一水平面上的两根金属导轨，处在沿竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，长度相等的导轨OP1段与OP2段相互垂直，交于O点．导轨的P1Q1与P2Q2段相互平行，相距为2b．一根质量为m的金属细杆，在t=0s时从O点出发，在外力作用下以恒定的速度v沿导轨向右滑动．在滑动的过程中，杆始终保持与导轨的平行段相垂直，速度方向与导轨的平行段相平行，杆与导轨有良好的接触．假定导轨与金属杆都有电阻，且每单位长度的电阻都是r．不计金属细杆与轨道之间的摩擦．
（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流多大？
（2）当t=
2b
V
时，金属杆受到的安培力多大？
（3）从开始运动到t=
b
V
过程中，外力一共做了多少的功？
（4）若控制外力，使金属杆从静止开始作匀加速直线运动，加速度始终为a，试写出外力随时间变化的规律．
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如图所示，OP1Q1与OP2Q2是位于同一水平面上的两根金属导轨，处在沿竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，长度相等的导轨OP1段与OP2段相互垂直，交于O点。导轨的P1Q1与P2Q2段相互平行，相距为2b。一根质量为m的金属细杆，在t=0s时从O点出发，在外力作用下以恒定的速度v沿导轨向右滑动。在滑动的过程中，杆始终保持与导轨的平行段相垂直，速度方向与导轨的平行段相平行，杆与导轨有良好的接触。假定导轨与金属杆都有电阻，且每单位长度的电阻都是r。不计金属细杆与轨道之间的摩擦。
（1）金属杆在正交的OP1、OP2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流多大？
（2）当t=时，金属杆受到的安培力多大？
（3）从开始运动到t=过程中，外力一共做了多少的功?
（4）若控制外力，使金属杆从静止开始作匀加速直线运动，加速度始终为a，试写出外力随时间变化的规律。

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