Question

20．细绳的一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为m的小球，小球经推动后紧贴在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，如图，已知绳长L，绳与竖直线的夹角为θ，试求：
（1）小球受到几个力的作用？
（2）为使小球不离开桌面，小球的运动周期应满足什么条件？
（3）若小球不离开桌面时，每秒钟完成n次圆周运动，此时绳对小球的拉力多大？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，小球受到重力，绳子的拉力以及桌面的支持力；
（2））当水平面对小球无支持力时，对应的周期最小，根据拉力和重力的合力提供向心力列式求解即可求解最小周期；
（3）若小球不离开桌面，根据绳子拉力的水平分量提供向心力列式求解即可．

解答 解：（1）对小球受力分析，小球受到重力，绳子的拉力，小球经推动后紧贴在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，所以小球还受到桌面的支持力，所以小球共受3个力作用；
（2）以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力N、绳子拉力F．
在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，而R=Lsinθ，得：
Fcosθ+N=mg
Fsinθ=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
当球即将离开水平面时，N=0，周期有最小值，解得：${T}_{min}=2π\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，
所以为使小球不离开桌面，小球的运动周期应满足大于等于$2π\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，
（3）若小球不离开桌面，则有：
Tsinθ=mω²R=m4π²n²R=m4π²n²Lsinθ
解得：T=4π²n²mL
答：（1）小球受到三个力的作用；
（2）为使小球不离开桌面，小球的运动周期应满足大于等于$2π\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$；
（3）若小球不离开桌面时，每秒钟完成n次圆周运动，此时绳对小球的拉力为4π²n²mL．

点评 本题关键找出临界状态，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解，知道当水平面对小球无支持力时，对应的周期最小，难度适中．