Question

4．如图所示，水平桌面上一轻弹簧的左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的半径R=0.5m的光滑半圆轨道MN，其中MN为其直径，与地面垂直．现用一质量m=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块向右运动，过B点后物块的位移与时间满足关系式x=7t-2t²（x的单位为m，t的单位为s）．物块进入光滑圆轨道后，恰好能从M点飞出．g=10m/s²，求：
（1）B、N间的距离．
（2）在N点，物块对轨道的压力．
（3）物块离开M点后落至地面时与N点的距离．

Answer 1

分析 （1）根据M点的临界条件即可求得物块在M点的速度，再对NM过程由机械能守恒定律可求得N点的速度，再对BN过程分析，根据运动学公式可求得BN间的距离；
（2）在N点由向心力公式即可求得物块受到的支持力，再由牛顿第三定律可求得物块对N点的压力；
（3）物块由M点水平飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律可求得落地点的距离．

解答 解：（1）物块恰好从M点飞出，则物块的重力恰好完全提供向心力，设其速度为v_M，则：
mg=m$\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$
物块从N到M，由机械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}$mv_M²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_N²
解得：v_N=5m/s
对于物块m在B、N段做匀减速运动，由x=7t-2t²知初速度v₀=7m/s，a=-4m/s²　
由v_N²-v₀²=-2ax得
 x=3m．　
（2）在N点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$　
解得F_N=12N　
由牛顿第三定律得物块对N点的压力是12N，方向竖直向下．　
（3）物块由M点水平飞出后，以初速v_M做平抛运动
水平方向：x_N=v_Mt　
竖直方向：y=2R=gt²　
代入数据解得x_N=1m．　
答：（1）B、N间的距离为3m；
（2）在N点，物块对轨道的压力为12N；
（3）物块离开M点后落至地面时与N点的距离为1m．

点评 该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用以及匀变速直线运动的基本规律，用到的知识点及公式较多，要注意正确分析物理过程以及受力情况，然后再选择正确的物理规律求解即可．