Question

17．如图所示．某一平面内有一半径为R的圆形区城，一条直线与圆相交．圆心O到直线的距离为$\frac{3}{5}$R．一个质点沿直线在圆上的a点射入，在圆形区域内所受合力F₁的大小不变，方向始终与速度方向垂直，质点在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．同一质点以同样速度沿直线在圆上的a点射入，在圆形区域内所受合力F₂的大小不变，方向始终与直线方向垂直，质点也在b点离开该区域．求：
（1）b点到直线的距离．
（2）F₁与F₂的比值．

Answer 1

分析 （1）过b点和O点做垂直于沿图中直线的垂线，分别于直线交与c和d点，由几何关系知，线段ac、bc和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径围成一正方形，由几何关系可以得到半径，从而求出b点到直线的距离
（2）粒子在F₂作用下做类平抛，由平抛规律可以表示出来其大小，再由匀速圆周运动表示出来F₁的大小，进而得到F₂．

解答 解：（1）过b点和O点做垂直于沿图中直线的垂线，分别于直线交与c和d点，由几何关系知，线段ac、bc和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径围成一正方形，如图：
因此有：
ac=bc=r
设cd=x，圆心O到直线的距离为$\frac{3}{5}$R，则ad=$\frac{4}{5}R$，由几何关系得：
$ac=\frac{4}{5}R+x$
$bc=\frac{3}{5}R+\sqrt{{R}_{\;}^{2}-{x}_{\;}^{2}}$
联立解得：
$x=\frac{3}{5}R$
所以$bc=\frac{7}{5}R$，即b点到直线的距离为$\frac{7}{5}R$
（2）粒子在F₂的作用下做类平抛运动，设其加速度大小为a，物体在圆形区域内运动的时间为t，由牛顿第二定律得：
F₂=ma…①
由运动学公式得：
$r=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$…②
r=vt…③
由②③解得：
$a=\frac{2{v}_{\;}^{2}}{r}$
代入①得：
${F}_{2}^{\;}=m\frac{2{v}_{\;}^{2}}{r}=2\frac{m{v}_{\;}^{2}}{r}$
粒子在水平面内做匀速圆周运动，设粒子在a点的速度为v，圆周半径为r，由向心力公式得：
${F}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
故$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
答：（1）b点到直线的距离$\frac{7}{5}R$．
（2）F₁与F₂的比值$\frac{1}{2}$．

点评 本题重点是对数学知识的应用，要求作图能力，数学几何能力都比较好才行，有点偏重数学了