Question

3．在地面附近竖直平面内有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向水平并垂直纸面向外，一个质量为m、带电量为-q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀强圆周运动，（重力加速度为g）．求：
（1）求此区域内电场强度的大小和方向；
（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点时，速度与水平方向成45°，如图所示，则该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？
（3）若当微粒运动P点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向水平向右，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场和磁场及重力场能做匀速圆周运动，则有电场力与重力平衡，而洛伦兹力提供向心力．从而根据平衡条件可确定电场强度的大小与方向；
（2）由粒子所受洛伦兹力提供向心力，从而求出运动圆弧的半径与周期，再根据几何关系来确定圆弧最高点与地面的高度及运动时间；
（3）当撤去磁场时，粒子受到重力与电场力作用，从而做匀减速直线运动．因此此运动可看成竖直方向与水平方向两个分运动，运用动能定理可求出竖直的高度，最终可算出结果．

解答 解：（1）带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，有mg=Eq，即E=$\frac{mg}{q}$，方向竖直向下．
（2）粒子做匀速圆周运动，轨道半径为R，如图所示．
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
根据几何关系可确定，最高点与地面的距离为：H_m=H+R（1+cos45°）
解得：${H}_{m}=H+\frac{mv}{qB}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
该微粒运动周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
根据运动圆弧对应的圆心角，可得粒子运动至最高点所用时间为：t=$\frac{3T}{8}$=$\frac{3πm}{4qB}$，
（3）设粒子上升高度为h，由动能定理得：$-mgh-qEhcos45°=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=$\frac{m{v}^{2}}{2（mg+qE）}$=$\frac{{v}^{2}}{4g}$
微粒离地面最大高度为H+$\frac{{v}^{2}}{4g}$．
答：（1）此区域内电场强度的大小为$\frac{mg}{q}$，方向竖直向下．
（2）该微粒至少须经$\frac{3πm}{4qB}$时间运动到距地面最高点，最高点距地面$H+\frac{mv}{qB}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
（3）微粒运动中距地面的最大高度是H+$\frac{{v}^{2}}{4g}$．

点评 运用共点力平衡条件、牛顿第二定律、动能定理等规律，及由洛伦兹力提供向心力来确定线速度大小与周期．同时借助于数学的几何关系来确定已知长度与圆弧半径的关系．