Question

【题目】如图所示为演示“过山车”原理的实验装置，该装置由两段倾斜直轨道与一圆轨道拼接组成，在圆轨道最低点处的两侧稍错开一段距离，并分别与左右两侧的直轨道平滑相连。

某研学小组将这套装置固定在水平桌面上，然后在圆轨道最高点A的内侧安装一个薄片式压力传感器（它不影响小球运动，在图中未画出）。将一个小球从左侧直轨道上的某处由静止释放，并测得释放处距离圆轨道最低点的竖直高度为h，记录小球通过最高点时对轨道（压力传感器）的压力大小为F。此后不断改变小球在左侧直轨道上释放位置，重复实验，经多次测量，得到了多组h和F，把这些数据标在F-h图中，并用一条直线拟合，结果如图所示。

为了方便研究，研学小组把小球简化为质点，取重力加速度g=10m/s2。请根据该研学小组的简化模型和如图所示的F-h图分析并回答下列问题：

（1）若空气及轨道对小球运动的阻力均可忽略不计，

①圆轨道的半径R和小球的质量m；

②若两段倾斜直轨道都足够长，为使小球在运动过程中始终不脱离圆轨道，释放高度h应满足什么条件；

③ 当释放处的竖直高度h=0.40m时，求小球到达圆轨道最低点时所受轨道的支持力的大小N1；

④当释放处的竖直高度h=0.40m时，求小球到达圆轨道圆心等高处时对轨道的压力N2。

（2）在利用此装置进行某次实验时，由于空气及轨道对小球运动的阻力不可忽略，当释放处的竖直高度h=0.50m时，压力传感器测得小球对轨道的压力N=0.32N，求小球从静止运动至圆轨道最高点的过程中克服阻力所做的功W。

Answer 1

【答案】（1）①0.16m，0.032kg ②h≤0.16m或者h≥0.4m ③1.92N ④0.96N（2）6.4×10-3J

【解析】

（1）①设小球到达A点速度为vA，根据动能定理：

在A点，设轨道对小球的压力为N，根据牛顿第二定律：

根据牛顿第三定律：

N=F

联立上述三式可得：

对比F-h图象，根据斜率和截距关系，可得：

解得：

R=0.16m

m=0.032kg

②假设h=h1时，小球恰好到达最高点A，此时F=0
由F-h图象可得：h1=0.4m
假设h=h2时，小球恰好到达圆轨道圆心的右侧等高点，此过程根据动能定理：

mg（h2-R）=0-0

解得：

h2=R=0.16m

综上，为使小球在运动过程中始终不脱离圆轨道，释放高度h应满足：h≤0.16m或者h≥0.4m

③ 当释放处的竖直高度h=0.40m时，到达最高点时对轨道压力为零，则此时速度

从最高点到最低点：

解得

N1=1.92N；

④当释放处的竖直高度h=0.40m时，到达最高点时对轨道压力为零，则此时速度

从最高点到圆轨道圆心等高处：

解得

N2=0.96N；

（2）小球在最高点时：

其中N=0.32N

从释放到圆弧最高点：

解得

Wf=6.4×10-3J