题目内容

18.如图所示,一个边长为a的单匝正方形线圈以00′为轴匀速转动,转速为每秒n转,00′的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场,磁场以00′连线为边界,磁感应强度为B,从00′接出外电路,负载电阻为R,线圈电阻为r,电流表和连接导线的电阻不计,求:
(1)从图示位置起,线圈转过$\frac{1}{4}$周时间内负载电阻R上产生的热量Q是多少?
(2)从图示位置起转过$\frac{1}{4}$周时间内通过电阻R的电荷量q是多少?
(3)电流表的示数I是多少?

分析 (1)根据感应电动势的最大值公式Em=NBSω,结合ω=2πn,即可求解最大值;再由交流电的最大值表达式可求得有效值,再由电功公式可求得热量;
(2)由法拉第电磁感应定律可求得平均值,由q=It可求得电荷量;
(3)电流表的示数为有效值,由有效值定义求出有效值,再由电流.

解答 解:(1)由最大值表达式可知;Em=NBSω=B×a2×2πn=2Bπa2n;
在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$转的时间内,电动势的有效值为E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$Bπa2n;
Q=($\frac{E}{R+r}$)2R•$\frac{T}{4}$=$\frac{{B}^{2}{π}^{2}{a}^{4}n}{2(R+r)}$;
(2)在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$ 的时间内,电动势的平均值$\overline{E}$=$\frac{△∅}{△t}$;
平均电流$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过R的电荷量q=$\overline{I}$△t=$\frac{B{a}^{2}}{R}$;
(3)根据以上分析得出对应的交流电图象如图所示;
设此交变电动势在一周期内的有效值为E′,由有效值的定义得:
$\frac{(\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}})^{2}}{R}•\frac{T}{2}=\frac{E{′}^{2}}{R}•T$
E′=$\frac{{E}_{m}^{\;}}{2}$;
解得:电流表的示数为:
I=$\frac{E′}{R}$=$\frac{π{a}^{2}nB}{(r+R)}$;
答:(1)负载电阻R上产生的热量为$\frac{{B}^{2}{π}^{2}{a}^{4}n}{2(R+r)}$;
(2)通过负载电阻R的电荷量为$\frac{B{a}^{2}}{R}$;
(3)电流表的示数为$\frac{π{a}^{2}nB}{(r+R)}$.

点评 本题考查交流电的有效值及交流电的产生,要注意明确电流表示数及求总功及功率时都要用有效值.

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