Question

13．假设未来的某一天，我国的航天员顺利登上了月球，航天员在月球表面h高处先后以水平速度v₁，v₂抛出一小球，测得小球从被抛出到落回月球表面的时间均为t，位移分别为$\sqrt{2}$h和$\sqrt{5}$h，试求：
（1）月球表面的重力加速度g_月．
（2）先后两次抛出小球的水平速度v₁与v₂之比．

Answer 1

分析 1、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出月球表面的重力加速度；
2、根据矢量的合成，将小球的位移分解，求出小球水平方向的位移，然后由x=vt即可求出小球落月时速度v的大小之间的关系．

解答 解：（1）设月球表面重力加速度为g_月，小球做平抛运动．飞行时间为t，
根据平抛运动规律
h=${\frac{1}{2}}^{\;}$g_月t²
s=v₀t
g_月=$\frac{2{hv}_{0}^{2}}{{s}^{2}}$
（2）水平方向的位移：x₁=v_1x•t；x₂=v_2x•t
所以：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
而：${x}_{1}=\sqrt{{s}_{1}^{2}-{h}^{2}}=\sqrt{2{h}^{2}-{h}^{2}}=h$；${x}_{2}=\sqrt{{s}_{2}^{2}-{h}^{2}}=\sqrt{5{h}^{2}-{h}^{2}}=2h$
联立可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{2}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月是$\frac{2{hv}_{0}^{2}}{{s}^{2}}$；
（2）先后两次抛出小球的水平速度v₁与v₂之比是1：2．

点评 本题关键是根据万有引力提供向心力，由向心力公式和万有引力公式列式求解，知道重力加速度g是联系星球表面的物体运动和天体运动的桥梁．