Question

13．如图所示，质量为M表面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上，其倾角为θ，斜面顶端与劲度系数为k自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的下端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为$\frac{3}{4}$L 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中斜面体始终处于静止状态，（重力加速度为g）则下列说法正确的是（　　）

• A． 物块下滑的过程中弹簧的弹性势能一直增大
• B． 物块下滑到速度最大时其重力势能减少$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$+$\frac{mgLsinθ}{4}$
• C． 物块下滑过程中，地面对斜面体的摩擦力最大值为mgsinθcosθ+$\frac{kLsinθ}{4}$
• D． 斜面体与地面的摩擦因数μ≥$\frac{4mgsinθcosθ+kLcosθ}{4Mg+4mgco{s}^{2}θ-kLsinθ}$

Answer 1

分析 物块在斜面上做简谐运动，物块下滑过程中，弹簧先恢复原长再伸长，弹性势能先减小再增大；当物块在运动的最高点和最低点时，其加速度最大，其摩擦力最大．对整体由牛顿第二定律可得地面对斜面体的摩擦力最大值；当物块处于任意位移x处时，能保持静止即可，对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解，然后将最大位移代入即可．

解答 解：A、物块下滑时，弹簧先恢复原长再伸长，弹性势能先减小再增大，故A错误；
B、当物块速度最大时有：mgsinθ=kx，所以重力势能减少为：△E_P=mg（$\frac{L}{4}$+$\frac{mgsinθ}{k}$）sinθ，故B正确；
C、当物块在运动的最高点和最低点时，其加速度最大，其摩擦力最大．对整体由牛顿第二定律可得地面对斜面体的摩擦力最大值为：f=ma_x=m（gsinθ+$\frac{kL}{4m}$）cosθ=mgsinθcosθ+$\frac{kLcosθ}{4}$，故C正确；
D、当物块在最高点时，其与地面的压力最小，动摩擦因数最大．有：f=mgsinθcosθ+$\frac{kLcosθ}{4}$≤μN，（M+m）g-F_N=ma_y=m（gsinθ+$\frac{kL}{4m}$）sinθ
所以有μ≥$\frac{4mgsinθcosθ+kLcosθ}{4Mg+4mgco{s}^{2}θ-kLsinθ}$．故D正确．
故选：BCD．

点评 本题关键是先对滑块受力分析，然后根据牛顿第二定律列式分析；最后对斜面体受力分析，确定动摩擦因数的范围．