题目内容

1.如图所示,在距一质量为m0、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量为m的质点,此时大球体对质点的万有引力为F1,当从大球体中挖去一半径为$\frac{R}{2}$的小球体后(空腔的表面与大球体表面相切),剩下部分对质点的万有引力为F2,求F1:F2

分析 根据万有引力定律求出M对m的万有引力,当从M中挖去一半径为r=$\frac{1}{2}$R的球体时,剩下部分对m的万有引力等于原来的万有引力减去被挖去的球体对m的万有引力.

解答 解:质点与大球球心相距2R,其万有引力为F1,则有:F1=$G\frac{Mm}{(2R)^{2}}=\frac{1}{4}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
大球质量为:M=ρ×$\frac{4}{3}$πR 3
挖去的小球质量为:M′=ρ×$\frac{4}{3}$π($\frac{R}{2}$)3
即M′=$\frac{1}{8}$ρ×$\frac{4}{3}$πR3=$\frac{M}{8}$
小球球心与质点间相距$\frac{3}{2}R$,小球与质点间的万有引力为:
F1′=$G\frac{M′m}{(\frac{3}{2}R)^{2}}=\frac{1}{18}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
则剩余部分对质点m的万有引力为:
F2=F1-F1′=$\frac{1}{4}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{1}{18}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$\frac{7}{36}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
故有:$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{9}{7}$.
答:$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{9}{7}$.

点评 本题主要考查了万有引力定律得直接应用,注意球体对质点的距离为球心到质点的距离.

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