Question

1．如图所示，在距一质量为m₀、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F₁，当从大球体中挖去一半径为$\frac{R}{2}$的小球体后（空腔的表面与大球体表面相切），剩下部分对质点的万有引力为F₂，求F₁：F₂．

Answer 1

分析 根据万有引力定律求出M对m的万有引力，当从M中挖去一半径为r=$\frac{1}{2}$R的球体时，剩下部分对m的万有引力等于原来的万有引力减去被挖去的球体对m的万有引力．

解答 解：质点与大球球心相距2R，其万有引力为F₁，则有：F₁=$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=\frac{1}{4}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
大球质量为：M=ρ×$\frac{4}{3}$πR ³，
挖去的小球质量为：M′=ρ×$\frac{4}{3}$π（$\frac{R}{2}$）³，
即M′=$\frac{1}{8}$ρ×$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{M}{8}$
小球球心与质点间相距$\frac{3}{2}R$，小球与质点间的万有引力为：
F₁′=$G\frac{M′m}{（\frac{3}{2}R）^{2}}=\frac{1}{18}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
则剩余部分对质点m的万有引力为：
F₂=F₁-F₁′=$\frac{1}{4}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$-$\frac{1}{18}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$\frac{7}{36}G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
故有：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{9}{7}$．
答：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{9}{7}$．

点评 本题主要考查了万有引力定律得直接应用，注意球体对质点的距离为球心到质点的距离．