Question

7．如图所示，在水平面上有一电动小车，车上固定一个小铁钩，总质量m=0.50kg，在O点悬挂一条不可伸长的细绳，绳长L=2.0m，下端C点结有一质量可忽略的小轻环，过细绳中点作一水平线AB，在这条水平线上钉一钉子，然后让小车从距离C点s=2.0m处，以恒定功率P=5.0w开始启动，小车受到地面恒定阻力f=0.50N，运动时间t=2.0s后，小车电动机自动关闭，继续运动到C点，车上铁钩刚好插入绳下端的轻环，并紧扣在一起，所有碰撞忽略能量损失．

（1）小车铁钩插入轻环后的瞬间，细绳的拉力多大？
（2）细绳碰到钉子之后，小车将绕着钉子做圆周运动，若能通过最高点，求钉子离竖直线0C的距离d₁的取值范围．
（3）将细绳换成劲度系数k=10N/m的弹性细橡皮筋，橡皮筋原长也是L=2.0m，且下端同样结上轻环，要使小车刚要离开地面时，橡皮筋恰好碰到钉子，求钉子离竖直线0C的距离d₂．（g取10m/s²，结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）应用动能定理求得小车在C点的速度，再由牛顿第二定律求得拉力；
（2）由几何关系求得最高点高度与d₁的关系式，再由动能定理求得在最高点的速度，然后利用牛顿第二定律即可求解；
（3）小车要离开地面时，地面对小车的支持力为零，对小车进行受力分析，小车受力平衡，再利用胡克定律即可求解．

解答 解：（1）设小车在C点的速度为v，小车在水平面上运动，只有外力和阻力做功，所以，运用动能定理，可得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0=Pt-fs$，
因为细绳不可伸长，所以，小球到达C点后将做圆周运动，设小车铁钩插入轻环后的瞬间，细绳的拉力为T，则有：$T-mg=\frac{m{v}^{2}}{L}$，
所以，$T=mg+\frac{m{v}^{2}}{L}=mg+\frac{2（Pt-fs）}{L}$=$0.50×10+\frac{2×（5.0×2.0-0.50×2.0）}{2.0}（N）$=14N；
（2）细绳碰到钉子之后，小车将绕着钉子做圆周运动，若能通过最高点，设小车在最高点处的速度为v′，
则小车做圆周运动的半径$R=L-\sqrt{（\frac{L}{2}）^{2}+{{d}_{1}}^{2}}=2-\sqrt{1+{{d}_{1}}^{2}}＞0$，所以，$mg≤\frac{mv{′}^{2}}{R}$；
在C点之后，小车运动过程中只有重力做功，所以，由动能定理可得：$-mg（\frac{L}{2}+R）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
所以，mgR≤mv′²=mv²-mg（L+2R），
所以，$R≤\frac{1}{3}（\frac{m{v}^{2}}{mg}-L）$=$\frac{8}{15}m$，所以，$0＜2-\sqrt{1+{{d}_{1}}^{2}}≤\frac{8}{15}$，
所以，1.1m≤d₁＜1.7m；
（3）当小车到达C点右端xm处时，橡皮筋的弹力$T=k（\sqrt{4+{x}^{2}}-2）$，其在竖直方向上的分量${T}_{N}=\frac{2}{\sqrt{4+{x}^{2}}}T=2k（1-\frac{2}{\sqrt{4+{x}^{2}}}）$；
所以，x 越大，T_N越大；当T_N=mg时，小车将要离开地面，此时x=2d₂；
所以，$2k（1-\frac{1}{\sqrt{1+{{d}_{2}}^{2}}}）=mg$，所以，${d}_{2}=\frac{\sqrt{7}}{3}m=0.88m$．
答：（1）小车铁钩插入轻环后的瞬间，细绳的拉力为14N；
（2）细绳碰到钉子之后，小车将绕着钉子做圆周运动，若能通过最高点，则钉子离竖直线0C的距离d₁的取值范围为[1.1m，1.7m）．
（3）将细绳换成劲度系数k=10N/m的弹性细橡皮筋，橡皮筋原长也是L=2.0m，且下端同样结上轻环，要使小车刚要离开地面时，橡皮筋恰好碰到钉子，则钉子离竖直线0C的距离d₂为0.88m．

点评 在物体运动问题中，常用动能定理求解物体初、末速度或某力在这一过程中所做的功．