题目内容
7．
粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度为B0的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为E0的匀强电场，一束质量为m、电荷量为q的带电粒子，以不同的速度从小孔O处沿中轴射入此区域，研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动并从挡板上小孔P射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为△v，通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为v1的匀速直线运动和以速度v2在两板间的匀强磁场找那个做匀速圆周运动的合运动，v1、v2和△v均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间相互作用．（1）若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔O射入时的速度v0；
（2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中的速度v0射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距d应满足什么条件？
（3）磁感应强度为B0时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量△v，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L应满足什么条件？
分析 （1）由粒子受力平衡求解即可；
（2）求出粒子做匀速圆周运动的速度，然后再根据洛伦兹力作向心力求得圆周运动的半径，进而得到d的条件；
（3）求出粒子做圆周运动的周期，然后分析提高分辨率的条件，再联立匀速直线分运动将其转化为距离．
解答 解：（1）粒子受电场力（方向：竖直方向）和洛伦兹力的作用，沿中轴线运动，则带电粒子受力平衡，所以有qE0=B0v0q，
所以，${v}_{0}=\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
（2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中的速度v0射入，则粒子不能沿中轴线运动，那么，带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为v1的匀速直线运动和以速度v2在两板间的匀强磁场做匀速圆周运动的合运动；
匀速圆周运动初始时刻速度方向水平，向心力方向竖直，所以，任一粒子将在中垂线的一边运动；
所以，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，则两板间距d的一半$\frac{d}{2}$应大于匀速圆周运动的直径；
对于沿中轴线方向以速度为v1的匀速直线运动有：qE0=Bv1q，所以，${v}_{1}=\frac{{E}_{0}}{B}$；
所以，对于以速度v2在两板间的匀强磁场做匀速圆周运动有$\left\{\begin{array}{l}{{v}_{2}={v}_{0}-{v}_{1}}\\{B{v}_{2}q=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}}\end{array}\right.$；
所以，$R=\frac{m{v}_{2}}{Bq}=\frac{m}{Bq}（\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}-\frac{{E}_{0}}{B}）$=$\frac{m{E}_{0}}{q}•\frac{B-{B}_{0}}{{B}^{2}{B}_{0}}$；
设B=kB0，则$R=\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}（-\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{k}）=-[（\frac{1}{k}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}]\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
所以，当k=2时，R取得最大值，${R}_{max}=\frac{m{E}_{0}}{4q{{B}_{0}}^{2}}$；
所以，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，则两板间距d应大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
（3）磁感应强度为B0时，粒子做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{{v}_{2}}=\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
磁感应强度为B0时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量△v，从而提高速度选择器的速度分辨本领，则应使不能沿轴线运动的粒子偏离轴线有最大距离，即圆周分运动完成半周期的奇数倍，则$L={v}_{0}（2n-1）\frac{T}{2}$=$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}×（2n-1）×\frac{πm}{{B}_{0}q}$=$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$；
答：（1）若带电粒子能沿中轴线运动，则其从小孔O射入时的速度v0为$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
（2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中的速度v0射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距d应大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
（3）磁感应强度为B0时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量△v，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L为$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$．
点评 在利用运动的合成与分解时，力与速度满足相同的叠加法则，所以，洛伦兹力也可以根据速度的分解而分解．
如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，当该电荷离开磁场时，速度方向刚好改变了180°，不计电荷的重力，下列说法正确的是（ ）| A． | 该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 | |
| B． | 该点电荷的比荷为$\frac{q}{m}=\frac{{2{v_0}}}{BR}$ | |
| C． | 该点电荷带负电 | |
| D． | 该点电荷在磁场中的运动时间t=$\frac{πR}{{2v_0^{\;}}}$ |
如图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转动，下列关于小球受力的说法中正确的是（ ）| A． | 小球受到离心力、重力和弹力 | B． | 小于受到重力和弹力 | ||
| C． | 小球受到重力、弹力、向心力 | D． | 小球受到重力、弹力、下滑力 |
如图，在x轴原点O的两侧对称地放置两个点电荷，电荷量分别为Q（Q＞0）和-Q，a点位于x轴上O点与点电荷Q之间，b位于y轴O点上方．取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是（ ）| A． | b点的电势为零 | |
| B． | 正的试探电荷在b点所受电场力方向向右 | |
| C． | 一负电荷仅在电场力的作用下经过a、b两点时，b点的动能较大 | |
| D． | 将同一正的试探电荷先后从a点移到b点和O点，后者电势能的变化较大 |
如图，直角坐标系xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=$\sqrt{3}$T．现有一带负电的粒子，电荷量q=1×10-6C，质量m=5×10-12kg，以v=1×106m/s的速度先后经过P（1，5）、Q（5，2）两点，粒子重力不计，求：
如图所示，固定在竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道置于垂直于纸面向外的磁场中，磁感应强度大小在竖直方向均匀分布，水平方向非均匀分布且向右增大，一个带正电的小球，从轨道左端的最高点静止释放，向右先后经过等高的a、b两点，关于小球经过a、b两点速度大和对轨道压力的大小，下列说法正确的是（ ）| A． | 小球在a点压力比b点大 | B． | 小球经过a、b两点速度大小相等 | ||
| C． | 小球在a点压力比b点小 | D． | 小球经过a、b两点速度大小不相等 |
如图，平静湖面岸边的垂钓者，眼睛恰好位于岸边P点正上方h1=0.9m的高度处，浮标Q离P点s1=1.2m远，PQ水平，鱼饵灯M在浮标正前方s2=1.8m处的水下，垂钓者发现鱼饵灯刚好被浮标挡住，已知鱼饵灯离水面的深度h2=2.4m，求：
如图所示，质量均为2m的木板A、B并排静止在光滑水平地面上，木板A左端与固定于水平面的半径为R的四分之一圆弧底端相切，A与B，A与圆弧底端均不粘连，质量为m的小滑块从圆弧顶端静止滑下，经过圆弧底端后水平滑上A，并在滑到B的右端时恰好与B共速，小滑块过圆弧底端时对轨道的压力大小为1.5mg，且在A、B上滑行时受到的摩擦阻力相同，小滑块与B的共同速度是小滑块刚滑上A时的0.3倍，重力加速度为g，求：