Question

7．如图，两质量均为m、电荷量分别为q、2q的带负电粒子A、B在同一圆周上绕位于圆心O点的点电荷+Q做顺时针方向、半径为R的匀速圆周运动，A、B所在半径间的夹角为α．不计彼此间的万有引力以及A、B间的库仑力．已知静电力常量为k．求：
（1）粒子A绕O点做圆周运动的动能；
（2）粒子B绕O点做圆周运动的周期；
（3）经过多少时间粒子A、B第一次相遇．

Answer 1

分析 （1、2）根据牛顿第二定律，结合引力提供向心力，即可求解；
（3）根据以上所求得周期表达式，结合B必须比A多绕（2π-α），才能追上A，从而即可求解．

解答 解：（1）根据引力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：$\frac{kQq}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：E_KA=$\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$=$\frac{KQq}{2R}$；
（2）根据引力提供向心力，则有：$\frac{KQ•2q}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}R$
解得：T_B=2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{2kQq}}$；  
（3）同理，根据引力提供向心力，则有：T_A=2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$，
由题意可知，B必须比A多绕（2π-α），才能追上A；
因此（2π-α）=（ω_B-ω_A）•△t；
根据$ω=\frac{2π}{T}$，可得：（2π-α）=（$\frac{2π}{{T}_{B}}-\frac{2π}{{T}_{A}}$）△t．
解得：△t=$\frac{（2π-α）}{\sqrt{2}-1}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$；
答：（1）粒子A绕O点做圆周运动的动能$\frac{KQq}{2R}$；
（2）粒子B绕O点做圆周运动的周期2π$\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{2kQq}}$；
（3）经过多少时间粒子A、B第一次相遇$\frac{（2π-α）}{\sqrt{2}-1}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{kQq}}$．

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握万有引力定律与向心力表达式的内容，注意当能相遇时，B比A多绕多少角度是解题的关键．