Question

7．如图所示，n=50匝的矩形线圈abcd，边长ab=20cm，bc=25cm，放在磁感强度B=0.4T的匀强磁场中，从图示位置开始绕垂直于磁感线且以线圈中线的OO′轴匀速转动，转动角速度ω=50πrad/s，线圈的总电阻r=1Ω，外电路电阻R=9Ω．试求：
（1）线圈中感应电动势的瞬时值表达式．
（2）线圈从开始计时经$\frac{1}{300}$s时，线圈中电流的瞬时值．
（3）1min时间内电阻R上产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据公式E_m=nBsω求解感应电动势的最大值，再根据e=E_msinωt求解瞬时值表达式．
（2）线圈从开始计时经$\frac{1}{300}$s时，将时间代入电流瞬时值表达式求出电流的瞬时值．
（3）先求出电压的有效值，再根据闭合电路欧姆定律求出电流，根据Q=I²Rt求出电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）线圈在图示位置产生的感应电动势最大，
其大小为E_m=nBωS=nBωab•bc
代入数据解得：E_m=50×0.4×50×0.2×0.25=50V  
故瞬时值表达式
e=E_m•cosωt=50cos （50πt）V．
（2）t=$\frac{1}{300}$s时，e=50cos50πt=e=50cos50π×$\frac{1}{300}$V=25$\sqrt{3}$ V，
线圈中电流的瞬时值i=$\frac{e}{R+r}$=$\frac{25\sqrt{3}}{9+1}$A=4.33A．
（3）感应电动势的有效值E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{50}{\sqrt{2}}$=25$\sqrt{2}$V，则电流的有效值I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{25\sqrt{2}}{9+1}$=2.5$\sqrt{2}$A，
1分钟的时间内，电阻R上产生的焦耳热Q=I²Rt=（$\frac{5}{2}\sqrt{2}$）²×9×60=6750J．
答：（1）线圈中感应电动势的瞬时值表达式50cos （50πt）V．
（2）线圈从开始计时经$\frac{1}{300}$s时，线圈中电流的瞬时值4.33A．
（3）1min时间内电阻R上产生的热量6750J．

点评 交流电路中闭合电路欧姆定律同样适用，只不过电动势与电流要注意对应关系，瞬时值对应瞬时值，最大值对应最大值．