Question

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具．它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l平行于y轴，宽度为d的NP边平行于x轴，如图1所示．列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B₀，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v₀沿Ox方向匀速平移．设在短暂时间内，MM、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力．列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v（v＜v₀）．
（1）简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
（2）为使列车获得最大驱动力，写出MM、PQ边应处于磁场中的什么位置及λ与d之间应满足的关系式；
（3）计算在满足第（2）问的条件下列车速度为v时驱动力的大小．

Answer 1

（1）由于列车速度与磁场平移速度方向相同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到安培力即为驱动力．
（2）为使列车获得最大驱动力，MM、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致线框中电流最强，也会使得金属框长边中电流收到的安培力最大，因此，d应为

λ

2

的奇数倍，即d=(2k+1)

λ

2

或λ=

2d

2k+1

(k∈N)①
（3）由于满足（2）问条件，则MM、PQ边所在处的磁感应强度大小均为B₀且方向总相反，经短暂的时间△t，磁场沿Ox方向平移的距离为v₀△t，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为v△t．
因为v₀＞v，所以在△t时间内MN边扫过磁场的面积
S=（v₀-v）l△t
在此△t时间内，MN边左侧穿过S的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化
△Φ_MN=B₀l（v₀-v）△t   ②
同理，该△t时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化
△Φ_PQ=B₀l（v₀-v）△t   ③
故在△t内金属框所围面积的磁通量变化
△Φ=△Φ_MN+△Φ_PQ ④
根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小E=

△Φ

△t

    ⑤
根据闭合电路欧姆定律有I=

E

R

   ⑥
根据安培力公式，MN边所受的安培力
F_MN=B₀Il
PQ边所受的安培力
F_PQ=B₀Il
根据左手定则，MM、PQ边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小
F=F_MN+F_PQ=2 B₀Il⑦
联立解得F=

4 B 20 l2(v0-v)

R

⑧