题目内容
磁悬浮列车是一种高速运载工具，它由两个系统组成．一是悬浮系统，利用磁力使车体在轨道上悬浮起来从而减小阻力．另一是驱动系统，即利用磁场与固定在车体下部的感应金属线圈相互作用，使车体获得牵引力，图22就是这种磁悬浮列车电磁驱动装置的原理示意图．即在水平面上有两根很长的平行轨道PQ和MN，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B．列车底部固定着绕有N匝闭合的矩形金属线圈abcd（列车的车厢在图中未画出），车厢与线圈绝缘．两轨道间距及线圈垂直轨道的ab边长均为L，两磁场的宽度均与线圈的ad边长相同．当两磁场Bl和B2同时沿轨道方向向右运动时，线圈会受到向右的磁场力，带动列车沿导轨运动．已知列车车厢及线圈的总质量为M，整个线圈的总电阻为R．（1）假设用两磁场同时水平向右以速度v0作匀速运动来起动列车，为使列车能随磁场运动，列车所受的阻力大小应满足的条件；
（2）设列车所受阻力大小恒为f，假如使列车水平向右以速度v做匀速运动，求维持列车运动外界在单位时间内需提供的总能量；
（3）设列车所受阻力大小恒为f，假如用两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动列车，当两磁场运动的时间为t1时，列车正在向右做匀加速直线运动，此时列车的速度为v1，求两磁场开始运动到列车开始运动所需要的时间t0．
分析：（1）以磁场为参考系，列车向左切割磁场，两条边均产生感应电动势，当列车静止时，相对速度最大，产的感应电动势最大，感应电流最大，所受的安培力最大，为使列车能随磁场运动，列车所受的阻力大小应小于线框所受的安培力．
（2）列车水平向右以速度v做匀速运动时，相对于磁场向左运动，线框所受的安培力与阻力大小相等，根据受力平衡，求出电流I，再根据能量守恒定律E=I2R+fv求出单位时间内需提供的总能量．
（3）为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，t1时刻金属线圈中的电动势 E=2NBL（at1-v1），根据所受的安培力，结合牛顿第二定律求出列车最终的加速度．
从磁场运动到列车起动需要时间为t0，t0时刻金属线圈中的电动势E0=2NBLat0，当t0时刻时安培力增大到与阻力相等，根据安培力等于阻力求出t0．
（2）列车水平向右以速度v做匀速运动时，相对于磁场向左运动，线框所受的安培力与阻力大小相等，根据受力平衡，求出电流I，再根据能量守恒定律E=I2R+fv求出单位时间内需提供的总能量．
（3）为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，t1时刻金属线圈中的电动势 E=2NBL（at1-v1），根据所受的安培力，结合牛顿第二定律求出列车最终的加速度．
从磁场运动到列车起动需要时间为t0，t0时刻金属线圈中的电动势E0=2NBLat0，当t0时刻时安培力增大到与阻力相等，根据安培力等于阻力求出t0．
解答：解：（1）列车静止时，电流最大，列车受到的电磁驱动力最大设为Fm，此时，线框中产生的感应电动势
E1=2NBLv0
线框中的电流 I1=
整个线框受到的安培力 Fm=2NBI1L
列车所受阻力大小为fm＜Fm=
（2）当列车以速度v匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势E=2NBL（v'-v）
金属框中感应电流I=
又因为 F=2NBIL=f
求得 v′=v+
当列车匀速运动时，金属框中的热功率为 P1=I2R
克服阻力的功率为 P2=fv
所以可求得外界在单位时间内需提供的总能量为
E=I2R+fv=fv+
（3）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t1时刻金属线圈中的电动势
E=2NBL（at1-v1）
金属框中感应电流 I=
又因为安培力 F=2NBIL=
所以对列车，由牛顿第二定律得
-f=Ma
解得 a=
设从磁场运动到列车起动需要时间为t0，则t0时刻金属线圈中的电动势 E0=2NBLat0
金属框中感应电流 I0=
又因为安培力 F0=2NBIL=
所以对列车，由牛顿第二定律得
=f
解得 t0=
=
．
E1=2NBLv0
线框中的电流 I1=
| E1 |
| R |
整个线框受到的安培力 Fm=2NBI1L
列车所受阻力大小为fm＜Fm=
| 4N2B2L2v0 |
| R |
（2）当列车以速度v匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势E=2NBL（v'-v）
金属框中感应电流I=
| 2NBL(v′-v) |
| R |
又因为 F=2NBIL=f
求得 v′=v+
| fR |
| 4N2B2L2 |
当列车匀速运动时，金属框中的热功率为 P1=I2R
克服阻力的功率为 P2=fv
所以可求得外界在单位时间内需提供的总能量为
E=I2R+fv=fv+
| f2R |
| 4N2B2L2 |
（3）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t1时刻金属线圈中的电动势
E=2NBL（at1-v1）
金属框中感应电流 I=
| 2NB L (at1-v1) |
| R |
又因为安培力 F=2NBIL=
| 4N2B2L2(at1-v1) |
| R |
所以对列车，由牛顿第二定律得
| 4N2B2L2(at1-v1) |
| R |
解得 a=
| fR+4N2B2L2v1 |
| 4N2B2L2t1-MR |
设从磁场运动到列车起动需要时间为t0，则t0时刻金属线圈中的电动势 E0=2NBLat0
金属框中感应电流 I0=
| 2NBLat0 |
| R |
又因为安培力 F0=2NBIL=
| 4N2B2L2at0 |
| R |
所以对列车，由牛顿第二定律得
| 4N2B2L2at0 |
| R |
解得 t0=
| fR |
| 4N2B2L2a |
| fR(4N2B2L2t1-MR) |
| 4N2B2L2(fR+4N2B2L2v1) |
点评：解决本题的关键以磁场为参考系，线圈做切割磁感线运动，产生感应电流，从而受到安培力，在安培力和阻力的作用下运动．
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（2008?天津）磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具．它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l平行于y轴，宽度为d的NP边平行于x轴，如图1所示．列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v0沿Ox方向匀速平移．设在短暂时间内，MM、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力．列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v（v＜v0）．
