Question

6．a、b两颗人造卫星的质量之比m_a：m_b=2：1，轨道半径之比r_a：r_b=9：4，求：a、b的运行速率之比v_a：v_b；a、b的运行周期之比T_a：T_b；a、b所在轨道处的重力加速度之比g_a：g_b．

Answer 1

分析 人造卫星绕地球做圆周运动受到的万有引力提供向心力，分别用周期、速率来表示向心力，化简公式即可求解结果．

解答 解：卫星绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=mg$有：
卫星的运行速率$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可得$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{a}}}}{\sqrt{\frac{GM}{{r}_{b}}}}=\sqrt{\frac{{r}_{b}}{{r}_{a}}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$=$\frac{2}{3}$
卫星的运行周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，可得$\frac{{T}_{a}}{{T}_{b}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}_{a}^{3}}{GM}}}{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}_{b}^{3}}{GM}}}=\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}）^{3}}=\sqrt{（\frac{9}{4}）^{3}}$=$\frac{27}{8}$
卫星轨道处的重力加速度g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，可得$\frac{{g}_{a}}{{g}_{b}}=\frac{\frac{GM}{{r}_{a}^{2}}}{\frac{GM}{{r}_{b}^{2}}}=（\frac{{r}_{b}}{{r}_{a}}）^{2}$=$（\frac{4}{9}）^{2}$=$\frac{16}{81}$
答：a、b的运行速率之比v_a：v_b为2：3，a、b的运行周期之比T_a：T_b为27：8，a、b所在轨道处的重力加速度之比g_a：g_b为16：81．

点评 对于卫星问题一定掌握：万有引力提供向心力，可以用卫星的速度、周期、角速度来分别表示向心力，从而求出结果．注意环绕天体的质量对线速度、周期及重力加速度无影响．