题目内容
4.如图所示,内侧为圆锥凹面的圆柱固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,圆锥凹面与水平面夹角为θ,转台转轴与圆锥凹面的对称轴OO′重合.转台以一定角速度ω匀速旋转,一质量为m的小物块落入圆锥凹面内,经过一段时间后,小物块随圆锥凹面一起转动且相对圆锥凹面静止,小物块和O点的距离为L,重力加速度大小为g.若ω=ω0,小物块受到的摩擦力恰好为零.(1)求ω0;
(2)若ω=(1±k)ω0,且0<k<1,小物块仍相对圆锥凹面静止,求小物块受到的摩擦力大小和方向.
分析 (1)若ω=ω0,小物块受到的摩擦力恰好为零,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出角速度的大小.
(2)当ω>ω0,重力和支持力的合力不够提供向心力,摩擦力方向沿罐壁切线向下,当ω<ω0时,重力和支持力的合力大于向心力,摩擦力方向沿锥面向上,抓住竖直方向上的合力为零,水平方向上的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小.
解答 解:(1)当ω=ω0时,小物块受重力和支持力,由牛顿第二定律得,
$mgtanθ=m{ω}_{0}^{2}Lcosθ$,
解得ω0=$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$.
(2)当ω=(1+k)ω0时,小物块做圆周运动所需向心力变大,则摩擦力方向沿锥面向下,对小物块受力分析,
水平方向:${F}_{N}sinθ+fcosθ=m{ω}^{2}Lsinθ$,
竖直方向:FNcosθ-fsinθ=mg,
解得f=k(2+k)mgsinθ.
当ω=(1-k)ω0时,小物块做圆周运动所需向心力变小,则摩擦力方向沿锥面向上,对小物块分析,
水平方方向:FNsinθ-fcosθ=mω2Lcosθ,
竖直方向:FNcosθ+fsinθ=mg,
解得f=k(2-k)mgsinθ.
答:(1)ω0为$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$;
(2)当ω=(1+k)ω0时,f=k(2+k)mgsinθ,方向沿锥面向下;当ω=(1-k)ω0时,f=k(2-k)mgsinθ,方向沿锥面向上.
点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源,结合牛顿第二定律,抓住竖直方向上合力为零,水平方向上的合力提供向心力进行求解.
练习册系列答案
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