Question

4．如图所示，内侧为圆锥凹面的圆柱固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，圆锥凹面与水平面夹角为θ，转台转轴与圆锥凹面的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入圆锥凹面内，经过一段时间后，小物块随圆锥凹面一起转动且相对圆锥凹面静止，小物块和O点的距离为L，重力加速度大小为g．若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零．
（1）求ω₀；
（2）若ω=（1±k）ω₀，且0＜k＜1，小物块仍相对圆锥凹面静止，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）当ω＞ω₀，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，当ω＜ω₀时，重力和支持力的合力大于向心力，摩擦力方向沿锥面向上，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）当ω=ω₀时，小物块受重力和支持力，由牛顿第二定律得，
$mgtanθ=m{ω}_{0}^{2}Lcosθ$，
解得ω₀=$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$．
（2）当ω=（1+k）ω₀时，小物块做圆周运动所需向心力变大，则摩擦力方向沿锥面向下，对小物块受力分析，
水平方向：${F}_{N}sinθ+fcosθ=m{ω}^{2}Lsinθ$，
竖直方向：F_Ncosθ-fsinθ=mg，
解得f=k（2+k）mgsinθ．
当ω=（1-k）ω₀时，小物块做圆周运动所需向心力变小，则摩擦力方向沿锥面向上，对小物块分析，
水平方方向：FNsinθ-fcosθ=mω²Lcosθ，
竖直方向：F_Ncosθ+fsinθ=mg，
解得f=k（2-k）mgsinθ．
答：（1）ω₀为$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$；
（2）当ω=（1+k）ω₀时，f=k（2+k）mgsinθ，方向沿锥面向下；当ω=（1-k）ω₀时，f=k（2-k）mgsinθ，方向沿锥面向上．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．