Question

17．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示．下列分析正确的是（　　）

• A． 太阳对该行星的引力小于太阳对地球的引力
• B． 行星、地球、太阳三者共线的时间间隔为0.5N年
• C． 该行星的公转周期为$\frac{N}{N-1}$年
• D． 该行星和地球的线速度之比为${（{\frac{N-1}{N}}）^{\frac{1}{3}}}$

Answer 1

分析 由万有引力做向心力得到周期与半径的关系，进而求得行星的周期；并由万有引力与行星质量相关得到两引力大小无法判断；再由三星共线的条件得到时间间隔；最后先求取速度与周期的表达式，进而得到两线速度之比．

解答 解：C、星体（设质量为m）绕太阳（设质量为M）做圆周运动，万有引力在向心力，则有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}R$，所以，${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}}{GM}{R}^{3}$；所以，半径越大，周期越大；
又有每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，地球的公转周期为1年，设该行星的公转周期为T（年），则有：N=（N-1）T，所以，$T=\frac{N}{N-1}$（年），故C正确；
A、现只知公转周期，由C可知，求解周期时，星体质量不影响星体的运动，而万有引力与星体质量m成正比，故无法判断太阳对该行星的引力和太阳对地球的引力那个大，故A错误；
B、要使行星、地球、太阳三者共线，则只需地球比行星多转半个圆即可，设行星、地球、太阳三者共线的时间间隔为k年，则有：$k-\frac{k}{T}=0.5$，所以，$k=\frac{0.5}{1-\frac{1}{T}}=\frac{0.5}{\frac{1}{N}}=0.5N$，故B正确；
D、由C可知，行星绕太阳运动的半径$R=（\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$，那么，行星的线速度$v=\frac{2πR}{T}=（\frac{2πGM}{T}）^{\frac{1}{3}}$；所以，该行星和地球的线速度之比为$\frac{1}{{T}^{\frac{1}{3}}}=（\frac{N-1}{N}）^{\frac{1}{3}}$，故D正确；
故选：BCD．

点评 天体运动中，一般由万有引力做向心力，根据题目给出的物理量得到要求的物理量．在求解的过程中，要把其他变量都转化成已知量．