Question

3．在公路的十字路口，红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直的一列，最前面的一辆汽车的前端刚好与路口停车线相齐，相邻两车的前端之间的距离均为l=6.0m，若汽车起动时都以a=2.5m/s²的加速度作匀加速运动，加速到v=10.0m/s 后做匀速运动通过路口．该路口亮绿灯时间t=40.0s，而且有按倒计时显示的时间显示灯．另外交通规则规定：原在绿灯时通行的汽车，红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许通过．请解答下列问题：
（1）若绿灯亮起瞬时，所有司机同时起动汽车，问有多少辆汽车能通过路口？
（2）第（1）问中，不能通过路口的第一辆汽车司机，在时间显示灯刚亮出“3”时开始刹车做匀减速运动，结果车的前端与停车线相齐时刚好停下，求刹车后汽车加速度大小．
（3）事实上由于人反应时间的存在，绿灯亮起时不可能所有司机同时起动汽车．现假设绿灯亮起时，第一个司机迟△t=0.90s后起动汽车，后面司机都比前一辆车迟0.90s后起动汽车，在该情况下，有多少辆车能通过路口？

Answer 1

分析 （1）先求出加速的时间，根据运动学基本公式求出 40.0 s时间，汽车能行驶的位移，从而求出能通过路口的汽车；
（2）先求出当计时灯刚亮出“3”时，不能通过路口的第一辆汽车行驶的位移，再求出汽车距停车线的距离，根据速度位移公式求解加速度；
（3）设能通过k辆汽车，则第k辆汽车能通过路口要满足$\frac{1}{2}$$a{t}_{1}^{2}$+v（t-t1-k△t）≥（k-1）l，带入数据即可求解．

解答 解：（1）汽车加速时间 ${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{10}{2.5}s=4s$
40.0 s时间，汽车能行驶的位移为x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}+v（t-{t}_{1}）$=380m
所以n=$\frac{x}{l}$=$\frac{380}{6}=63.3$
根据题意，能有64辆汽车通过路口；
（2）记 t₀=3s，当计时灯刚亮出“3”时，第65辆汽车行驶的位移x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}+v（t-{t}_{1}-{t}_{0}）$=350m
此时汽车距停车线的距离：x₂=64l-x₁=34m
第65辆车刹车的加速度：$a′=\frac{{v}^{2}}{2{x}_{2}}=\frac{1{0}^{2}}{2×34}m/{s}^{2}=1.47$m/s²
（3）设能通过k辆汽车，则第k辆汽车能通过路口要满足：$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}+v（v-{t}_{1}-k△t）$≥（k-1）l
数据代入后解得：k≤25.7
所以能通过25辆汽车．
答：（1）若绿灯亮起瞬时，所有司机同时起动汽车，有64辆汽车能通过路口；
（2）刹车后汽车加速度大小为1.47m/s²．
（3）在该情况下，有25辆车能通过路口．

点评 本题主要考查了运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析汽车的运动情况，难度适中．