Question

19．如图所示，左端带有挡板P的长木板质量为m，置于光滑水平面上，劲度系数很大的轻弹簧左端与P相连，弹簧处于原长时右端在O点，木板上表面O点右侧粗糙、左侧光滑．若将木板固定，质量也为m的小物块以速度v₀从距O点L的A点向左运动，与弹簧碰撞后反弹，向右最远运动至B点，OB的距离为3L，已知重力加速度为g．
（1）求物块和木板间动摩擦因数μ及上述过程弹簧的最大弹性势能E_p．
（2）解除对木板的固定，物块仍然从A点以初速度v₀向左运动，由于弹簧劲度系数很大，物块与弹簧接触时间很短可以忽略不计，物块与弹簧碰撞后，木板与物块交换速度．
①求物块从A点运动到刚接触弹簧经历的时间t；
②物块最终离O点的距离x．

Answer 1

分析 （1）物块从A点开始运动至B点的过程，由动能定理列式，可求得动摩擦因数μ．物块从弹簧压缩量最大处至B点的过程，由功能关系列式，可求得弹簧的最大弹性势能E_p．
（2）①解除对木板的固定，物块从A点向左做匀减速运动，木板向左做匀加速运动，根据牛顿第二定律求得两者的加速度．根据物块运动到O点时两者位移之差等于L，列式求得运动时间t．
②结合上题的结果求出物块刚接触弹簧时二者的速度，物块与弹簧碰撞后，木板与物块交换速度，物块和木板碰撞交换速度后，在摩擦力作用下分别做加速和减速运动，根据速度时间公式列式求得达到共同速度的时间和共同速度，再由功能关系求物块最终离O点的距离x．

解答 解：（1）研究物块从A点开始运动至B点的过程，由动能定理有：
-μmg（4L）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：μ=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8gL}$
研究物块从弹簧压缩量最大处至B点的过程，由功能关系有：
-μmg（3L）=0-E_p．
解得：E_p=$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
（2）①设物块在木板上运动的加速度大小为a₁，则有：
μmg=ma₁ 
解得：a₁=μg（方向水平向右）
设木板运动的加速度大小为a₂，则有：μmg=ma₂
解得：a₂=μg（方向水平向左）
由几何关系有：（v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$）-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=L 
解得：t₁=$\frac{2（2-\sqrt{2}）L}{{v}_{0}}$，t₂=$\frac{2（2+\sqrt{2}）L}{{v}_{0}}$（舍去）
②设物块刚接触弹簧时，物块和木板速度分别是v₁、v₂，则有：
v₁=v₀-a₁t₁，
v₂=a₂t₁
物块和木板碰撞交换速度后，在摩擦力作用下分别做加速和减速运动，设运动的时间为t、达到共同速度为v，则有：
v=v₂+a₁t，
v=v₁-a₂t
解得：v₁=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$，v₂=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$，v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
上述过程由功能关系有：
-μmg（L+x）=$\frac{1}{2}（2m）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：x=L
答：（1）物块和木板间动摩擦因数μ是$\frac{{v}_{0}^{2}}{8gL}$，上述过程弹簧的最大弹性势能E_p是$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$．
（2）①物块从A点运动到刚接触弹簧经历的时间t是$\frac{2（2-\sqrt{2}）L}{{v}_{0}}$；
②物块最终离O点的距离x是L．

点评 解决本题的关键要分析物块和木板的运动情况，判断能量的转化情况，运用牛顿第二定律和运动学公式分段研究．也可以根据动量守恒定律和能量守恒定律结合研究第二问．