Question

15．如图所示，A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动．当它们之间的距离大于等于某一定值d时，相互作用力为零；当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力．设A物体质量m₁=1.0kg，开始时静止在直线上某点；B物体质量m₂=3.0kg，以速度v₀从远处沿该直线向A运动．若d=0.10m，F=0.60N，v₀=0.20m/s，求：
（1）相互作用过程中A、B加速度的大小；
（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，物体组成的系统的动能的减少量；
（3）A、B间的最小距离．

Answer 1

分析 （1）已知两球受到的力及各自质量，由牛顿第二定律可直接求得两球的加速度；
（2）由运动过程可知，当两球相距最近时，两速的速度相等，由动量守恒可求得此时的共同速度，即可求得动能的变化量；
（3）从开始到相距最近，两球均做匀变速直线运动，由速度关系可求得两球运动的时间，即可分别求得两球的位移，则可得出两球相距的最小值

解答 解：（1）由F=ma可得：
A的加速度为：a₁=$\frac{F}{{m}_{1}}=\frac{0.6}{1}$=0.6m/s²，
B的加速度为：a₂=$\frac{F}{{m}_{2}}=\frac{0.6}{3}$=0.2m/s²；
（2）两者速度相同时，距离最近，
A、B组成的系统动量守恒，以B的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₂v₀=（m₁+m₂）v，
代入数据解得：v=0.15m/s，
系统动能的变化量：△E_K=$\frac{1}{2}$m₂v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²，
代入数据解得：△E_K=0.015J，
即动能的变化量为0.015J；
（3）根据匀变速直线运动规律得：
A的速度：v₁=a₁t，
B的速度：v₂=v₀-a₂t，
已知：v₁=v₂，
解得：t=0.25s，
则A的位移：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²，
B的位移：x₂=v₀t-$\frac{1}{2}$a₂t²，
两物体的距离为：△x=x₁+d-x₂，
将t=0.25s代入，解得A、B间的最小距离△s_min=0.075m
A、B间的最小距离为0.075m．
答：（1）相互作用过程中A、B加速度大小分别为0.60m/s²，0.20m/s²；
（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统运动能的减小量为0.15J；
（3）A、B间的最小距离为0.075m

点评 本题属弹簧连接体模型的变型题，这种模型两物体之间有相互作用，但不受其它外力，满足动量守恒，从能量的观点看，系统的动能与势能相互转化，并且当两物体速度相等时，势能达到最大，动能损耗最多；不过本题简化成了物体做匀变速运动，同时也考查了动力学的相关知识，是道好题．