Question

如图所示，质量为M=0.7kg的靶盒位于光滑水平导轨上．在O点时，恰能静止，每当它离开O点时便受到一个指向O点的大小恒为F=50N的力．P处有一固定的发射器，它可根据需要瞄准靶盒．每次发射出一颗水平速度v₀=50m/s，质量m=0.10kg的球形子弹（它在空中运动过程中不受任何力的作用）．当子弹打入靶盒后，便留在盒内不反弹也不穿出．开始时靶盒静止在O点．今约定，每当靶盒停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒内．
（1）当第三颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的最大距离为多少？第三颗子弹从离开O点到又回到O点经历的时间为多少？
（2）若P点到O点的距离为S=0.20m，问至少应发射几颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而不会碰到发射器？

Answer 1

分析：（1）、第一颗子弹进入靶盒的过程中，动量是守恒的，用动量守恒定律求出第一颗子弹和靶盒的共同速度v₁，之后第一颗子弹和靶盒在力F的作用下做匀减速运动，速度为零后做反方向运动，再回到O点，此时接收第二颗子弹，在接收第二颗子弹的过程中，整体动量守恒，由动量守恒定律可知，此时的速度为零．用求第一颗子弹进入靶盒的方法求出第三课子弹射入靶盒后系统的共同速度V₃，由动能定理求出三颗子弹和靶盒共同向右的位移S₃，由牛顿第二定律求出第三颗子弹从离开O点到又回到O点经历的时间t．
（2）、由第一问的分析可知，当靶盒接收奇数颗子弹时，会静止于O点，靶盒接收偶数颗子弹时，靶盒和子弹才会在力F的作用下向右作匀减速运动，由动量守恒可知，随着子弹数的增加，靶盒和子弹开始向右运动的速度变小，所以离开O点最大距离也就变小，当最大距离小于0.2m时，就不会碰到发射器．运用动量守恒定律和动能定理可求出当第几颗子弹射入靶盒后，不会和发射器碰撞．

解答：解：（1）第一颗子弹进入靶盒过程，系统动量守恒，设射入后获得速度v₁，则有mv₀=（M+m）v₁
得：v1=

m

M+m

v0…①
由于恒力作用又回到O点的过程，F做功为零，所以靶盒回到O点时，速度大小仍为v₁，但方向相反．第二颗子弹射靶后，设速度为v₂，
则有：mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂=0…②
当第三颗子弹射入后，设靶盒的速度为v₃，则有mv₀=（M+3m）v₃
得：v3=

m

M+3m

v0…③
此后靶盒克服F向右运动，至速度减为零时，离开O点的距离最大，设为S₃，由动能定理有
FS3=

1

2

(M+3m)

v

2 3

…④
S3=

(M+3m) v 2 3

2F

…⑤
由③、⑤式代入数据得S₃=0.25m…⑥
与第一颗子弹射入后的过程类似，第三颗子弹返回O点时速度大小仍为v₃，但方向左．设这一过程中加速度为a，往返时间为t．
由牛顿第二定律    a=

F

M+3m

…⑦
由运动学公式，有-v₃=v₃-at…⑧
由③、⑦、⑧式代入数据得t=0.2s…⑨
（2）由以上计算可见，每当奇数颗子弹射入靶后，靶都会开始运动，而偶数颗子弹射入靶后靶盒都会停止运动，所以射入子弹数必须为奇数，才能使停止射击后，靶盒能往复运动，设为n颗，
则：mv₀=（M+nm）v_n…⑩
FS ＞

1

2

(M+nm)

v

2 n

…（11）
由⑩、（11）代入数据得n＞5.5  取n=7（颗）
答：（1）当第三颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的最大距离为0.25m，第三颗子弹从离开O点到又回到O点经历的时间为0.2s．
（2）若P点到O点的距离为S=0.20m，问至少应发射7颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而不会碰到发射器．

点评：本题要求我们要有较强的对物体运动的分析能力，要能分析出当有奇数颗子弹打入靶盒时，靶盒是会静止在O点的，偶数颗子弹打入靶盒时，靶盒和子弹会一起向右做匀减速运动，并知道，随着子弹的增加，向右运动的最大距离也会随之减小．在整个过程中，要注意分析动量守恒的条件（合外力为零或内力远远大于外力时），综合运用动量守恒定律和动能定理来解答．