Question

8．2014年10月8日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示．已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为g_月，引力常量为G．
试求：（1）月球的质量M；
（2）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h．

Answer 1

分析 （1）在月球表面的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$，化简可得月球的质量；
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，结合周期和轨道半径的关系，可计算出卫星的高度

解答 解：（1）月球表面处引力等于重力，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$，得：$M=\frac{{{g_月}{R^2}}}{G}$，
（2）卫星的向心力有万有引力提供，有：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，
又$T=\frac{t}{n}$解得  h=$\root{3}{{\frac{{{g_月}{R^2}{t^2}}}{{4{π^2}{n^2}}}}}-R$．
答：（1）月球的质量M为$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$；
（2）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h为$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．