Question

【题目】一辆质量为m的车，发动机的额定功率为Pm。已知该车沿倾角为30°的足够长斜面下坡时，若关闭发动机，它立刻以大小为g/2的加速度做匀减速运动。现开启发动机，让该车在大小为3mg/2的恒定牵引力作用下由静止开始匀加速下坡，设阻力不变，求：

（1）下坡过程中车所能达到的最大车速；

（2）该车匀加速下坡能持续的时间。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】车下坡时，若关闭发动机，车受重力mg、支持力N、阻力f的作用，如图所示：

当车匀加速下坡时，车受牵引力F、重力mg、支持力N、阻力f的作用，如图所示：

（1）设车的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得：

f-mgsin30°＝ma1 ①

f＝ ma1+ mgsin30°，代入a1＝g/2，得：

f＝ mg ②

当车匀加速下坡时，由P＝Fv，得v＝P/F，当P达到额定功率Pm、同时牵引力最小时，车达到最高车速vm。设最小牵引力为F1

F1+mgsin300＝f ③

F1＝f-mgsin300＝mg- mgsin30°＝mg/2

故vm＝Pm/F1＝2Pm/mg ④

（2）由P＝Fv，车匀加速下坡时，牵引力F＝3mg/2不变，P随车速v加快而增大，直到达到额定功率Pm，此时车速为v1

v1＝ Pm/F＝2Pm/3mg ⑤

设车匀加速下坡的加速度大小为a2

v1＝a2t ⑥

F+ mgsin300-f＝ma2 ⑦

联列②⑦，代入F＝3mg/2得a2＝g ⑧

联列⑤⑥⑧可得车匀加速下坡能持续的时间

t＝2Pm/3mg2 ⑨