Question

15．甲、乙两卫星在同一轨道平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，某时刻两卫星位于地球两侧、并和地心在同一直线上，从此时刻起，经过t时间，甲与地心连线和乙与地心连线第二次互相垂直，若甲卫星做圆周运动的周期为T，地球的质量为M，引力常量为G，则（　　）

• A． 再经t时间，甲、乙两卫星相距最近
• B． 甲卫星做圆周运动的半径为$\root{3}{\frac{4{π}^{2}}{GM{T}^{2}}}$
• C． 乙卫星做圆周运动的周期$\frac{4Tt}{4t-T}$
• D． 乙卫星做圆周运动的半径$\frac{1}{4}$$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}（4t+3T）^{2}}{{π}^{2}{t}^{2}}}$

Answer 1

分析 甲、乙两卫星相距最近时，甲、乙两卫星和地心在同一直线上，且两卫星位于地球同侧．根据万有引力等于向心力，求甲卫星做圆周运动的半径．甲与地心连线和乙与地心连线第二次互相垂直时，甲比乙多转$\frac{π}{4}$．由此列式求乙卫星做圆周运动的周期，再由万有引力等于向心力，求乙卫星做圆周运动的半径．

解答 解：A、经过t时间，甲与地心连线和乙与地心连线第二次互相垂直，甲比乙多转$\frac{π}{4}$．再经t时间，甲比乙多转π，两卫星相距最近．故A正确．
B、甲卫星做圆周运动，由G$\frac{M{m}_{甲}}{{r}_{甲}^{2}}$=m_甲$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r_甲，得甲卫星做圆周运动的半径为 r_甲=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，故B错误．
C、根据$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{T}$t-$\frac{2π}{{T}_{乙}}$t，解得乙卫星做圆周运动的周期为 T_乙=$\frac{4Tt}{4t-T}$，故C正确．
D、乙卫星做圆周运动，由G$\frac{M{m}_{乙}}{{r}_{乙}^{2}}$=m_乙$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{乙}^{2}}$r_乙，解得乙卫星做圆周运动的半径为 r_乙=$\root{3}{\frac{4GM{T}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}（4t-T）^{2}}}$，故D错误．
故选：AC

点评 本题关键是明确两个卫星的动力学原理：万有引力等于向心力，根据牛顿第二定律列式求解周期之比，通过比较相对运动，找出运动规律进行分析两卫星的位置关系．