Question

11．一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R（R为地球半径），卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω₀，地球表面处的重力加速度为g．求
（1）该卫星所在处的重力加速度g′；
（2）该卫星绕地球转动的角速度ω；
（3）该卫星相邻两次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔△t．

Answer 1

分析 在地球表面处物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，在轨道半径为r处，仍有万有引力等于重力$mg′=G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}$，化简可得在轨道半径为r 处的重力加速度．
人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}=m{ω}^{2}（2R）$，结合黄金代换计算人造卫星绕地球转动的角速度ω，卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空．

解答 解：（1）在地球表面处物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
在轨道半径为r处，仍有万有引力等于重力$mg′=G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}$，
解得：g′=$\frac{1}{4}g$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}=m{ω}^{2}（2R）$，得ω=$\sqrt{\frac{g}{8R}}$，
（3）卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空
以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少2π．
即ω△t-ω₀△t=2π
解得：△t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8R}-{ω}_{0}}}$
答：（1）在轨道半径为r 处的重力加速度为$\frac{1}{4}g$；
（2）人造卫星绕地球转动的角速度为为$\sqrt{\frac{g}{8R}}$；
（3）该卫星相邻两次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔△t为$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8R}-{ω}_{0}}}$．

点评 该题为天体运动的典型题型，由万有引力提供向心力，再根据向心力的基本公式求解，解题过程中注意黄金代换式$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$的应用