Question

17．如图所示为我国“嫦娥一号卫星”从发射到进入月球工作轨道的过程示意图．在发射过程中，经过一系列的加速和变轨，卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号卫星”的速度在很短时间内由v₁提高到v₂，进入“地月转移轨道”，开始了从地球向月球的飞越．“嫦娥一号卫星”在“地月转移轨道”上经过114小时飞行到达近月点Q时，需要及时制动，使其成为月球卫星．之后，又在绕月球轨道上的近月点Q经过两次制动，最终进入绕月球的圆形工作轨道I．已知“嫦娥一号卫星”质量为m₀，在绕月球的圆形工作轨道I上运动的高度为h，月球的半径r_月，月球的质量为m_月，万有引力恒量为G．　　 

（1）求“嫦娥一号卫星”在绕月球圆形工作轨道?运动时的周期；
（2）理论证明，质量为m的物体由距月球无限远处无初速释放，它在月球引力的作用下运动至距月球中心为r处的过程中，月球引力对物体所做的功可表示为W=Gm_月m/r．为使“嫦娥一号卫星”在近月点Q进行第一次制动后能成为月球的卫星，且与月球表面的距离不小于圆形工作轨道?的高度，其第一次制动后的速度大小应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）设“嫦娥一号卫星”在圆轨道?上运动时距月球表面的高度为h，根据万有引力定律和向心力公式有，化简即可算出T．
（2）设“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后，在圆轨道?上运动的速度为v₁，则${v}_{1}=\frac{2π（{r}_{月}+h）}{T}$，代入上面h的值，化简可达到v₁．
设“嫦娥一号卫星”在通过近月点脱离月球引力束缚飞离月球的速度为v₂，根据机械能守恒定律$\frac{1}{2}{m}_{0}{{v}_{2}}^{2}-G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{{r}_{月}+h}=0$，可解得v₂．所以，“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后的速度v应满足的条件是：v₁＜v＜v₂．

解答 解：（1）设“嫦娥一号卫星”在圆轨道?上运动时距月球表面的高度为h，根据万有引力定律和向心力公式有：
$G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{（{r}_{月}+h）^{2}}={m}_{0}（{r}_{月}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：T=$2π\sqrt{\frac{（{r}_{月}+h）}{G{m}_{月}}}$
（2）设“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后，在圆轨道?上运动的速度为v₁，则有：
${v}_{1}=\frac{2π（{r}_{月}+h）}{T}$
解得：${v}_{1}=\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
设“嫦娥一号卫星”在通过近月点脱离月球引力束缚飞离月球的速度为u₂，根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}{m}_{0}{{v}_{2}}^{2}-G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{{r}_{月}+h}=0$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
所以，“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后的速度u应满足的条件是：
$\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}＜v＜\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
答：（1）“嫦娥一号卫星”在绕月球圆形工作轨道?运动时距月球表面的高度$h=\root{3}{\frac{G{{m}_{月}T}^{2}}{4{π}^{2}}}-{r}_{月}$．
（2）理论上使“嫦娥一号卫星”在近月点Q进行第一次制动后能成为月球的卫星，且与月球表面的距离不小于圆形工作轨道?的高度，最终进入圆形工作轨道，其第一次制动后的速度大小应满足：
$\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}＜v＜\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$．

点评 抓住解题的关键：万有引力提供卫星绕地球圆周运动的向心力．外力对卫星做的功等于卫星轨道转移过程中的动能的变化．